先统一「装东西的容器」和「把一个变成另一个的规则」

后面线性代数讲向量集合、微积分讲区间与邻域、概率讲样本空间，用的都是同一套集合语言；而「函数/映射」描述输入如何决定输出，神经网络本身就是一个高度复合的函数。这一节把这些最基础、却最容易因为「以为会了」而卡住后续的概念一次夯实。

1.1 集合与其运算

集合就是一堆确定对象凑成的整体，里面的每个对象叫元素。a 属于 A 记成 a∈A。常用数集得记到条件反射的程度：ℕ 是自然数、ℤ 是整数、ℚ 是有理数、ℝ 是实数。描述集合有两种写法：列举法直接写 {1,2,3}，描述法用 {x : x 满足的条件}。

四种运算：并 A∪B（属于 A 或 B）、交 A∩B（同时属于）、差 A−B（属于 A 不属于 B）、补集 Aᶜ（在全集 U 中不在 A 里的部分）。两个分配/对偶关系在概率里会反复用：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ、(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ（德摩根律：并补变交、交补变并）。

1.2 区间与邻域：微积分的「地点语言」

实数区间一共四种，前提是a<b：闭区间 [a,b]={x:a≤x≤b}、开区间 (a,b)={x:a<x<b}、半开区间 (a,b]={x:a<x≤b}；还有无穷区间，比如 (a,∞)={x:x>a}。微积分里说「x 趋近 a」，得用邻域的概念：a 的 δ 邻域是 (a−δ,a+δ)，就是所有和 a 的距离小于 δ 的点；去心邻域就是把 a 本身挖掉，满足 0<|x−a|<δ——求极限、定义导数的时候，只关心 a「附近」的点，不关心 a 这一点本身，所以用的是去心邻域。

1.3 映射：单射、满射、双射

映射 f:A→B 是一条规则，给 A 中每个元素指定 B 中唯一元素。A 叫定义域，输出全体 f(A)={f(a):a∈A} 叫像（值域是像的集合，是 B 的子集）。三种性质：

•单射（一一）：不同输入必有不同输出，f(x₁)=f(x₂)⟹x₁=x₂，不会「两个输入挤一个输出」。•满射：B 中每个元素都被射到，即 f(A)=B，没有「空着的输出」。•双射：既单又满，A、B 元素一一对应，此时才存在逆映射 f⁻¹（反函数）。

这套语言直接决定「反函数/可逆」的判断：stage12 反函数求导公式 (f⁻¹)′=1/f′ 成立的前提正是局部双射（严格单调）；线性代数里矩阵可逆等价于它表示的线性映射是双射。

1.4 函数：定义域、值域、复合

函数是数集到数集的映射。写函数先搞清楚定义域——就是让表达式有意义的x的范围，核心就三条：分母不为0、偶次根号内非负、对数真数为正。举个例子，f(x)=√(x−1)+1/(x−3)的定义域要同时满足x−1≥0和x−3≠0，结果是[1,3)∪(3,∞)。

复合函数 (g∘f)(x)=g(f(x))：先作用 f 再作用 g，顺序不能换。举个例子，f(x)=x²、g(x)=x+1，那 g(f(x))=x²+1，f(g(x))=(x+1)²，这俩结果不一样——跟矩阵乘法 AB≠BA、链式法则「从外向内分层」是同一个「顺序敏感」的思路。判断复合函数的定义域时，x 得同时满足两个条件：一是让内层的 f 有意义，二是让 f(x) 落在 g 的定义域里。

1.5 指数与对数：一对互为反函数的工具

指数 aˣ（a>0,a≠1）和对数 logₐ x 互为反函数，满足两个恒等式：logₐ(aˣ)=x、a^{logₐ x}=x。以 e≈2.71828 为底的指数 eˣ，和自然对数 ln x（也就是 log_e），在微积分里地位最特殊——因为 (eˣ)′=eˣ、(lnx)′=1/x，导数形式最简。

这些法则必须滚瓜烂熟，是后面 softmax、交叉熵、对数求导的运算基础：

•指数：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ，aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ，(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ，(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。•对数：log(xy)=logx+logy，log(x/y)=logx−logy，log(xⁿ)=n logx；换底公式 logₐb=lnb/lna。•特别：ln1=0、lne=1、a⁰=1、a⁻ⁿ=1/aⁿ、a^1/n=ⁿ√a。

本节小结

集合靠并、交、差、补和德摩根律来组织对象；区间和（去心）邻域是描述「附近」的标准说法；映射分单射、满射、双射，只有双射可逆，这是反函数和可逆矩阵的共同前提；函数先确定定义域再谈运算，复合的时候顺序不能乱；指数和对数互为反函数，核心法则是「指数相加对应对数相加、幂次对应倍数」，自然对数 ln 是 AI 损失函数的运算底座。下一节补代数变形和求和符号。