三角描述「周期」，数列描述「一步步逼近」，计数描述「有多少种可能」

神经网络的位置编码、傅里叶、激活与梯度里的三角恒等式，极限与级数里的数列，概率里的组合数，都源于这一节。只补后续真正用得到的部分，直观推导和公式一起给你。

3.1 弧度制与三角函数定义

弧度的定义是「弧长/半径」，180°等于π弧度，所以角度转弧度直接乘 π/180 就行。比如 30°=π/6、45°=π/4、60°=π/3、90°=π/2。微积分里所有公式默认用弧度，只有在弧度制下 lim sinx/x=1、(sinx)′=cosx 才是这么简洁的形式。

单位圆定义：角 θ 终边与单位圆交点为 (cosθ, sinθ)，tanθ=sinθ/cosθ。由此 sin²+cos²=1（勾股）、周期性 sin(θ+2π)=sinθ、奇偶性 sin(−θ)=−sinθ（奇）、cos(−θ)=cosθ（偶）。必须秒答的特殊值：sin0=0、sin(π/6)=1/2、sin(π/4)=√2/2、sin(π/3)=√3/2、sin(π/2)=1；cos 对应为 1、√3/2、√2/2、1/2、0。

3.2 后续最常用的三角恒等式

•同角：sin²θ+cos²θ=1，1+tan²θ=sec²θ。•和差：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ（余弦的符号与左边相反）。•倍角：sin2θ=2sinθcosθ；cos2θ=cos²θ−sin²θ=2cos²θ−1=1−2sin²θ。•降幂（积分常用）：sin²θ=(1−cos2θ)/2、cos²θ=(1+cos2θ)/2。导数一章用和差化积推出 (sinx)′=cosx，积分一章用降幂算 sin²、cos² 的积分，这些公式不是用来背考题，是推导途中的「扳手」。

3.3 数列与极限直观

数列就是按正整数编号的一串数 a₁,a₂,…，通项 aₙ 直接给出第 n 项的值。等差数列相邻两项的差是定值 d，通项公式：aₙ=a₁+(n−1)d；等比数列相邻两项的比是定值 q，通项公式：aₙ=a₁qⁿ⁻¹。当 n 越来越大，aₙ 无限逼近某个确定的数 L，就说这个数列收敛于 L，记成 lim_n→∞aₙ=L。举两个直观的例子：aₙ=1/n→0，aₙ=(1+1/n)ⁿ→e≈2.71828——e 就是这么来的。反过来，aₙ=n、aₙ=(−1)ⁿ 都不收敛：前者往无穷大跑，后者来回振荡。

3.4 二项式定理与组合数

二项式定理：(a+b)ⁿ=Σ_k=0ⁿ C(n,k) a^n−k bᵏ，其中组合数 C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]（读作「n 选 k」），系数排成帕斯卡三角，每行两端为 1、中间=肩上两数之和 C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)。组合数也是「从 n 个里不计顺序选 k 个」的方法数，在概率二项分布、泰勒/牛顿二项式里反复出现。例 (a+b)²=a²+2ab+b²、(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³。

3.5 计数原理、排列与组合（概率的前置）

两个基本原理：分类用加法（做这件事有几类互斥方案，数目相加）、分步用乘法（分几步依次完成，数目相乘）。排列 A(n,k)=n!/(n−k)!：从 n 个中选 k 个并「讲究顺序」排成一列；组合 C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]：只「选出」k 个、不讲究顺序，比排列少除了 k! 种内部排序。判断口诀：排队、名次、密码用排列；选人、分组、抽牌用组合。

本节小结

微积分里用弧度，sin/cos 靠单位圆定义，记死特殊值，还有 sin²+cos²=1、和差倍角、降幂公式；数列收敛就是 aₙ 无限逼近 L，等差等比都有通项和求和公式，(1+1/n)ⁿ→e；二项式定理的系数就是组合数 C(n,k)，满足帕斯卡递推；计数的时候分类用加法、分步用乘法，讲顺序用排列、不讲顺序用组合，这俩是概率统计模块的直接前置知识。下一节补逻辑证明方法、复数和坐标图像。