高等数学的推导，八成时间花在「初等代数变形」上

很多人学微积分卡住，不是卡在新概念，而是卡在移项、通分、配方、求和符号这些手工活。这一节把后续导数化简、误差估计、概率期望、级数求和都离不开的代数操作集中练熟。

2.1 绝对值与三角不等式

|x| 表示 x 到 0 的距离，分段定义：x≥0 时为 x，x<0 时为 −x。|x−a| 是 x 到 a 的距离。核心不等式有两个：①|x|≤b（b≥0）等价于 −b≤x≤b。这是 ε-δ 语言里把「|x−a|<δ」翻译成区间的钥匙。②三角不等式：|x+y|≤|x|+|y|、| |x|−|y| |≤|x−y|。几乎所有收敛、误差界的证明，都用它做放缩。

2.2 因式分解、配方与一元二次方程

常用恒等式：(a±b)²=a²±2ab+b²、a²−b²=(a−b)(a+b)、a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)。求导化简里「分子有理化」靠的就是 a²−b²：√A−√B=(A−B)/(√A+√B)。

配方法把 ax²+bx+c 写成 a(x+h)²+k：先提取 a，再对 x 项配完全平方。一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式是 x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)。判别式 Δ=b²−4ac 决定根的情况：Δ>0 有两个不等实根，Δ=0 是重根，Δ<0 没有实根（根是共轭复数，l4 讲复数）。两根之和是 −b/a，两根之积是 c/a，这就是韦达定理。

2.3 基本不等式与放缩意识

基本不等式（均值不等式）：对非负 a,b，有 (a+b)/2≥√(ab)，等号当且仅当 a=b——算术平均不小于几何平均。它在证明有界性、优化（stage12 极值）里常用。更要建立「放缩」意识：证明 A≤B 时常找中间量 C 使 A≤C≤B；放缩要适度，放过头会丢失结论。例：对 x≥0，由 0≤(√x−1/√x)² 展开可直接得到 x+1/x≥2。

2.4 Σ 求和符号：AI 数学里出现频率最高的符号

Σ（大写西格玛）表示求和：Σ_i=mⁿ aᵢ=aₘ+aₘ₊₁+…+aₙ，i 是求和指标（哑变量，换成 k 不影响结果），下上标给出范围。三条运算性质：①线性 Σ(caᵢ+dbᵢ)=cΣaᵢ+dΣbᵢ；②可按区间拆分 Σ₁ⁿ=Σ₁ᵏ+Σₖ₊₁ⁿ；③常数求和 Σ_i=1ⁿ c=nc。

两个必须背熟的闭式：等差数列 Σ_i=1ⁿ i=n(n+1)/2；等比数列 Σ_i=0ⁿ⁻¹ qⁱ=(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1），当 |q|<1 且 n→∞ 时无穷等比和=1/(1−q)（stage12 级数会严格化）。点积、期望、损失函数、梯度、级数全是 Σ，读不懂 Σ 就读不懂 AI 公式。

本节小结

|x| 是距离，三角不等式是放缩的基石；因式分解、配方、求根公式、判别式，是化简和判断根的常备工具；基本不等式 (a+b)/2≥√ab 用来处理有界与极值。Σ 求和要掌握线性、拆分、常数 nc，还有等差 n(n+1)/2、等比 (1−qⁿ)/(1−q) 两个闭式，警惕项数、换标、嵌套三类错误。下一节补齐三角函数、数列与极限的直观。