每次都搬 ε-δ 太累：把常用结论封装成「法则」

上一节你有了极限的严格定义，但算每个极限都从头写 ∀ε∃δ，效率太低。数学的做法是先拿 ε-δ 严格证明一批通用结论：四则、复合、夹逼、两个重要极限，之后直接调用它们，就像编程里把反复用的逻辑封装成函数。这一节你要拿到的就是这套「标准库」——覆盖你将来遇到的绝大多数求极限问题，每个结论都标了前置条件，违反前提就会得到 0/0 这种非法结果。

2.1 四则运算法则：好用，但每条都有前提

设 lim x→a f(x)=A，lim x→a g(x)=B（两者都是有限实数）。则：和差 lim(f±g)=A±B；积 lim(f·g)=A·B；商 lim(f/g)=A/B，但必须 B≠0；常数倍 lim(cf)=cA；幂与根 lim(fⁿ)=Aⁿ、lim ⁿ√f=ⁿ√A（偶次根要求 A≥0）。这些都能用 ε-δ 直接证，结论可放心使用。

手算一个分母非零的常规例：lim x→2 (3x²−2x+1)/(x+5)。分母在x=2处等于7≠0，直接代入就行：分子3·4−4+1=9，分母7，结果9/7。这类「代入即得」的前提是函数在该点连续且分母非零，下面会反复强调。

极限除了四则运算，还有三条从ε-δ直接推出来的基本性质，后面会反复用到。①唯一性：如果f同时趋于A和B，那A一定等于B，极限只能有一个。反证的话，要是A≠B，取ε小于|A−B|/2，两个互不相交的误差带不可能同时装下同一个f。②局部有界性：如果f→A且A是有限数，那在a的某个去心邻域里，f肯定有界。收敛一定局部有界，但有界不一定收敛，sin(1/x)有界却不收敛，就是反例。③局部保号性：如果f→A且A>0，那在足够小的邻域里，f(x)一定恒正；A<0就恒负。凭这个，你能只看极限符号，就断定函数在局部的正负，这是极值判别和梯度方向判断的雏形。

2.2 复合（换元）法则：让极限「穿过」连续函数

若 lim x→a g(x)=b，而外层 f 在 b 处连续，则 lim x→a f(g(x))=f(lim x→a g(x))=f(b)，极限符号可以「穿进」连续函数内部。这正是换元法的根据：求 lim x→0 e^sinx/x，因 sinx/x→1 且指数函数连续，极限直接等于 e¹=e。注意：使用时务必确认外层在极限点连续，否则不能随意交换。

这套四则与复合法则对数列极限同样成立：若 aₙ→A、bₙ→B，则 aₙ±bₙ→A±B、aₙbₙ→AB、aₙ/bₙ→A/B（B≠0）。从数列里按原顺序抽出的一列叫子列。原数列收敛到A的话，它的任意子列都收敛到A。反过来这个用法很实用：只要能找到两个子列收敛到不同值，或者某个子列发散，原数列就肯定不收敛。这和函数极限里「两列点趋于不同值就能否决」是一回事，也是判定振荡序列不收敛的常用方法。

复合法则有个反面要注意：只有外层在极限点连续时，才能把极限穿进去。举个反例：lim x→2 ⌊x/2⌋。先算内层x/2→1，再取整得⌊1⌋=1；但x从小于2的一侧靠近时，x/2<1，⌊x/2⌋=0，真实左极限是0，和穿进去的结果矛盾，根源是取整函数在1点不连续。安全换元三步：①令t=g(x)，确认x→a时t→b；②确认外层f在b连续（不连续的话要分别讨论t从两侧靠近的情况）；③改写成lim t→b f(t)再求值。任一步不满足，就退回左右极限或ε-δ，别硬穿。

2.3 待定型：为什么「0/0」不是一个答案

分子分母同时趋于0，或同时趋于无穷，商的结果没法提前确定，得看两者趋于极限的相对速度，这种情况叫待定型。待定型一共七种：0/0、∞/∞、∞−∞、0·∞、1^∞、0⁰、∞⁰。 它们的共同点是光看形式没法判断，得进一步分析。 注意：1^∞也是待定型，底数趋于1、指数趋于无穷，最终结果可能是e的某个幂，不是1——这就是第二个重要极限的形态。

术语上得分清「极限不存在」和「趋于无穷」：广义写 lim f=∞ 描述无界发散的方向，但 ∞ 不是实数，严格说此时不存在有限极限。「极限存在」默认指有个有限实数；结果发散到无穷的话，要注明方向（+∞ 还是 −∞，左右还可能不一样——1/x 在 0 点左侧是 −∞、右侧是 +∞，两侧方向不一致，这就是它双侧极限不存在的原因）。

2.4 夹逼准则：严格证明第一个重要极限 sinx/x→1

夹逼准则（三明治定理）：若在 a 的某去心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x)，且 lim g=lim h=L，则被夹在中间的 f 也必有 lim f=L。当 f 难以直接处理时，用两个已知极限的函数把它上下夹住就行。

用它做两个手算变形。①lim x→0 sin3x/x：凑成 3·(sin3x)/(3x)，令 t=3x→0，得 3·1=3。②lim x→0 (1−cosx)/x²：用恒等式 1−cosx=2sin²(x/2)，原式=2sin²(x/2)/x²=(1/2)·[sin(x/2)/(x/2)]²→(1/2)·1²=1/2。这两个结论下一节讲等价无穷小时会变成现成工具。

lim x→0 x·sin(1/x) 是夹逼处理的经典，这里乘法法则失效。sin(1/x) 在 x→0 时极限不存在，不能直接套极限乘法。但它有界：−1≤sin(1/x)≤1，乘以 x 后写成 −|x|≤x·sin(1/x)≤|x|，乘负数变号的情况被绝对值覆盖了。上下两侧 ±|x| 都趋于 0，中间就被夹到 0，极限是 0。这个例子就是上一节「无穷小×有界量=无穷小」的严格证明版本。

夹逼在数列上同样常用，给一个手算：求 lim n→∞ n/(n²+1)。直接看是 ∞/∞，改为夹逼——对一切 n 有 n/(n²+n)≤n/(n²+1)≤n/n²=1/n，其中左侧 n/(n²+n)=1/(n+1)→0、右侧 1/n→0，两侧都夹到 0，故极限为 0。遇到难算的分式，把分母适当放大或缩小成两个好算的界，让目标被两个已知极限夹住就行。

2.5 第二个重要极限：自然常数 e 的诞生

数列 aₙ=(1+1/n)ⁿ，用二项式定理展开能证两件事：一是 aₙ 随 n 单调递增，展开后逐项比，后一项多了正项；二是 aₙ 有上界 3，把展开式各项放大成等比级数，求和结果小于 3。 按「单调有界必有极限」，aₙ 收敛，这个极限定义为 e≈2.718281828…。它是自然对数的底，也是唯一让 d/dx e^x=e^x 的底数。

连续版本有两个等价形式：lim x→∞ (1+1/x)^x=e，以及令 t=1/x 换元得到 lim t→0 (1+t)^1/t=e。配凑手算：lim n→∞ (1+2/n)ⁿ，把它改写成 [(1+2/n)^n/2]²，内层令 m=n/2→∞，正是 (1+1/m)^m→e，所以整体→e²。1^∞ 型先凑成「1+无穷小」，再把指数配成该无穷小的倒数，多出的部分成为 e 的幂次。

为什么选自然底数 e？因为它让微积分公式最简：以 e 为底时 (e^x)′=e^x、(ln x)′=1/x，换别的底 a 都会多出常数因子 ln a。直观上 e 对应连续复利：本金 1、年利率 100%，把一年分成 n 期复利，年末总额是 (1+1/n)ⁿ，分期越细越逼近 e，这就是连续增长的极限。e 是无理数，小数位无限不循环。

就记这几个n→∞的常用极限，复杂度分析和概率里天天用：•n^1/n→1 开n次方最终能抵消任意多项式级增长•任意常数a>0时，a^1/n→1•n!/nⁿ→0 阶乘远小于nⁿ•等比rⁿ，|r|<1时趋于0 这些基本都能取对数，结合ln n/n→0推出来。核心就是对数能把幂次拉成乘法、乘法拉成加法，降阶用的，和算法里用对数把指数复杂度压成线性是一个道理。

e 还有一个收敛快得多的等价定义——级数 e=1+1/1!+1/2!+1/3!+…，它和 (1+1/n)ⁿ 的极限完全相等。手算前几项：1+1+0.5+0.1667+0.0417+0.0083≈2.7167，只加到第 6 项就精确到小数点后两位，因为阶乘分母涨得太快，余项很快就趋近于 0。这就是计算机实际算 e 时几乎总用级数不用极限定义的原因：级数每加一项，精度跳升的速度，比一点点增大 n 快得多。

(1+1/n)ⁿ的极限存在性靠「单调有界必收敛」保证。但这条定理只说极限存在，不直接给极限值。e的具体数值得靠级数展开或数值计算算出来。这种先证存在、再算数值的顺序，在分析学里很常见，能避免你对着一个可能根本不存在的量瞎算。

本节小结

极限标准库由四则/复合法则（带前提：商要求分母极限非零）、夹逼准则与两个重要极限组成。七种待定型（0/0、∞/∞、∞−∞、0·∞、1^∞、0⁰、∞⁰）不能直接代值，要靠因式分解、有理化、夹逼或配凑化解。夹逼准则配合单位圆不等式 sinx≤x≤tanx 严格证出 sinx/x→1，并衍生 (1−cosx)/x²→1/2；数列 (1+1/n)ⁿ 单调有界而收敛到 e，连续版 (1+t)^1/t→e，是所有 1^∞ 的配凑目标。下一节专门研究「趋于 0 的快慢」——无穷小的阶。