有正有负时，「振荡抵消」也能带来收敛

正项级数项足够小就收敛。项有正有负时，还能靠正负交替抵消收敛，哪怕绝对值加起来发散。先解决交错与一般项级数，再引入随 x 变化的幂级数——它是下一节把函数展开成无穷多项式的载体。

2.1 交错级数与莱布尼茨判别法

交错级数形如 Σ(−1)ⁿ⁻¹bₙ（bₙ≥0）。莱布尼茨判别法：①bₙ 单调递减（bₙ₊₁≤bₙ）；②bₙ→0，则级数收敛，且截断误差 |rₙ|≤bₙ₊₁，余项不超过被砍掉的第一项，部分和从两侧夹住真值。

经典交错调和级数 Σ(−1)ⁿ⁻¹/n=1−1/2+1/3−1/4+… 递减趋于 0，收敛，值为 ln2；它的绝对值级数 Σ1/n 发散。这说明交错抵消能「救回」一个发散的正项级数，直接引出条件收敛。

2.2 绝对收敛与条件收敛

若绝对值级数 Σ|aₙ| 收敛，称 Σaₙ 绝对收敛，绝对收敛必收敛（把 aₙ 拆成正部负部或用 |aₙ|±aₙ≥0 配合比较法可证）。若 Σaₙ 收敛但 Σ|aₙ| 发散，称条件收敛。交错调和是条件收敛典型；Σ(−1)ⁿ/n² 则绝对收敛（因 Σ1/n² 收敛）。

2.3 幂级数与收敛半径

形如 Σ_n=0^∞ cₙ(x−a)ⁿ 的级数叫以 a 为中心的幂级数，它在不同 x 处可能收敛或发散。阿贝尔定理的结论：幂级数的收敛域关于中心 a 对称，存在收敛半径 R（0≤R≤∞），在 |x−a|<R 内绝对收敛、|x−a|>R 发散，边界 |x−a|=R 的两个端点要单独判别，最终收敛域=收敛区间加（可能的）端点。

求 R 最常用比值/根值：若 lim|cₙ/cₙ₊₁|=R（比值）或 R=1/lim ⁿ√|cₙ|（根值）。例 Σxⁿ/n：比值 |x|·n/(n+1)→|x|，要求 |x|<1 即 R=1；端点 x=1 是调和级数发散、x=−1 是交错调和收敛，故收敛域 [−1,1)。例 Σxⁿ/n!，比值 |x|/(n+1)→0 对任意 x，R=∞（这就是 eˣ 处处收敛）。

2.4 幂级数的分析运算：收敛区间内像函数一样操作

幂级数在收敛区间内定义了一个函数 S(x)，且可以：①逐项求导 S′(x)=Σn cₙ(x−a)ⁿ⁻¹；②逐项积分 ∫S=Σ cₙ(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)；③两幂级数在公共收敛区间可加减、相乘。逐项求导或积分后收敛半径 R 不变，但端点敛散可能改变，需重新判断。用这个性质能从一个已知级数生成新的：已知 1/(1−x)=Σxⁿ，逐项积分得 −ln(1−x)=Σxⁿ⁺¹/(n+1)，逐项求导得 1/(1−x)²=Σ(n+1)xⁿ。

本节小结

交错级数在 bₙ 递减趋 0 时由莱布尼茨判收敛、误差不超首弃项；Σ|aₙ| 收敛为绝对收敛（必收敛、可重排），自身收敛而绝对值发散为条件收敛（不可随意重排）。幂级数有收敛半径 R，内部绝对收敛、端点单独判；收敛区间内可逐项求导积分且 R 不变，是从已知级数生成新级数的工厂。下一节讲函数反向展开成幂级数——泰勒级数，并引出复指数与欧拉公式。