有理函数：第一类能被「系统性」积出来的函数

有理函数是两个多项式之比。它有一套必定走得通的机械流程：除法加部分分式分解，能把任意有理分式拆成若干「原子」，每个原子都有标准积分。这套方法是拉普拉斯变换反演、控制系统计算的基础。

5.1 第一步：假分式先做除法

若分子次数 ≥ 分母次数（假分式），先用多项式长除法拆成「多项式 + 真分式」。多项式直接积分，问题归约为真分式（分子次数<分母次数）。例 (x²+1)/(x²−1)=1+2/(x²−1)，其中 1 积分得 x，剩下真分式再分解。

5.2 第二步：分母因式分解 + 部分分式

实系数多项式在实数范围内可唯一分解为一次因式与不可约二次因式（判别式<0）的乘积（计重数）。就按这个来拆真分式。

①一次单因式 (x−a)：配 A/(x−a)，积分 A ln|x−a|。

②一次重因式 (x−a)^k：配 A₁/(x−a)+A₂/(x−a)²+…+Aₖ/(x−a)^k，每阶都要；1/(x−a)^m（m≥2）积分为 −1/[(m−1)(x−a)^m−1]。

③不可约二次 (x²+px+q)：配 (Bx+C)/(x²+px+q)，分子是一次式；通过配方与拆分凑成「对数项 + 反正切项」。

系数用通分后比较分子多项式（代入特殊值 + 比较系数）确定，叫待定系数法。

部分分式示例：1/[(x-1)(x+2)] = A/(x-1) + B/(x+2)通分分子: 1 = A(x+2)+B(x-1)令 x=1: 1=3A -> A=1/3 ; 令 x=-2: 1=-3B -> B=-1/3故积分 = (1/3)ln|x-1| - (1/3)ln|x+2| + C = (1/3)ln|(x-1)/(x+2)| + C

5.3 两类二次原子的标准积分

配方后必须记住两个结果：

∫1/(x²+a²) dx=(1/a)arctan(x/a)+C，用u=x/a凑微分得到，对应不可约二次的反正切项。

②∫1/(x²−a²) dx=(1/(2a))ln|(x−a)/(x+a)|+C（先部分分式 1/(x²−a²)=(1/2a)[1/(x−a)−1/(x+a)] 再积分）。

而分子带一次式的 (Bx+C)/(x²+px+q)：先配方分母=(x+ p/2)²+d²，再把分子拆成「分母导数的倍数（凑 d(分母)→对数）+ 常数（走反正切）」两部分。例 ∫(x+3)/(x²+2x+5)dx，分母=(x+1)²+4，分子 x+3=(x+1)+2，于是 =½ln(x²+2x+5)+arctan((x+1)/2)+C。

5.4 三角有理式与万能代换

由 sinx、cosx 经四则运算构成的 R(sinx,cosx)，用万能代换 t=tan(x/2) 能把它彻底化成 t 的有理函数：sinx=2t/(1+t²)、cosx=(1−t²)/(1+t²)、dx=2/(1+t²)dt。就这么简单，任何三角有理式理论上都能积出。

例 ∫1/(1+cosx)dx 用万能代换：cosx=(1−t²)/(1+t²)、dx=2/(1+t²)dt，化简 ∫1 dt=t+C=tan(x/2)+C；而用恒等式 1+cosx=2cos²(x/2) 直接得 ∫½sec²(x/2)dx=tan(x/2)+C，殊途同归但后者更快。

5.5 不定积分方法总图 · m4 收官

拿到一个不定积分，按此顺序决策：①能否直接套基本表（先代数/三角化简）；②有无 f(φ)φ′ 结构 → 凑微分；③两类不同函数相乘 → 分部积分（LIATE）；④根号挡路 → 第二换元（三角/根式/倒代换）；⑤有理函数 → 除法+部分分式；⑥三角有理式 → 针对性代换或万能代换。必须清醒：存在大量函数（e^−x²、sinx/x、1/lnx 等）其原函数不是初等函数，「积不出来」不是你不会，而是数学上就没有初等原函数，它们要靠下一章的定积分数值计算或特殊函数处理——这也自然把我们引向定积分。