从「候选点」到「确定极值」再到「全局最优」

费马引理只圈出候选点，这一节给出判定候选点是峰、谷还是非极值的充分条件，解决应用里最关心的全局最值；最后把定义域、增减、凹凸、极值拐点、渐近线合起来，不依赖绘图软件也能画出趋势准确的函数图像。

5.1 极值的两个充分判据

x₀ 连续，左右邻域 f′ 由 + 变 −，x₀ 是局部极大（先增后减成峰）；由 − 变 + 是局部极小（成谷）；不变号的话不是极值。 f′(x₀)=0 时，看 f″(x₀)：f″(x₀)<0 是局部极大；f″(x₀)>0 是局部极小；f″(x₀)=0 的话，这个判据没用，得回到第一充分条件。 这种情况可能是极值也可能是拐点，比如 x⁴ 是极小，x³ 不是极值。

例 f=x³−3x：f′=3(x²−1)，驻点 x=±1。f″=6x，f″(1)=6>0 故 x=1 为极小（值 −2），f″(−1)=−6<0 故 x=−1 为极大（值 2）。一步二阶判据搞定，无需逐侧列号。

5.2 闭区间最值：三类候选点通吃

闭区间上的连续函数，全局最大、最小值只出现在三类地方：①内部驻点（f′=0的点）；②内部不可导点；③区间端点。求法就是把这三类点的函数值全算出来，直接比大小，最大的就是全局最大，最小的就是全局最小，不用判断它们是不是局部极值。这是不会漏的穷举候选点的方法。

例：f=x³−3x 在 [0,2]。驻点 x=1（x=−1 不在区间），候选为 x=0、1、2；f(0)=0、f(1)=−2、f(2)=2，比较得全局最小 −2（x=1）、全局最大 2（x=2，端点）。注意全局最大落在端点，说明只找驻点会漏掉答案。

5.3 三类渐近线：图像在「无穷远」和「爆炸点」的走向

水平渐近线：若 lim x→±∞ f(x)=b，则 y=b 是水平渐近线。看 x 趋于无穷时函数是否压向某高度，比如 1/x→0、e^−x→0。

②竖直渐近线：f 的无穷间断点 a，若 lim x→a⁺ 或 a⁻ f(x)=±∞，则 x=a 为竖直渐近线。比如 1/x 在 x=0、lnx 在 x=0⁺、tanx 在 x=π/2 都是这种情况。

③斜渐近线：若 lim x→∞ f(x)/x=k（存在且有限）且 lim [f(x)−kx]=b，则 y=kx+b 是斜渐近线，函数在无穷远处无限贴近这条斜线。水平与斜渐近线在同一方向上互斥，有水平就不会再有斜。

5.4 规范作图七步

①定定义域、奇偶（对称性）、周期；②求截距（能求则求）；③用极限定三类渐近线；④求 f′，定增减区间与极值；⑤求 f″，定凹凸与拐点；⑥把上述汇成性态表、标出关键点坐标；⑦先画渐近线与关键点，再按各段升降凹凸光滑连线。这套流程画出的是「趋势与关键点正确」的示意图，精确数值仍以计算为准。

本节小结

极值用一阶导变号或者二阶导符号来判，f″=0的时候就回到一阶的判据。闭区间找最值，要把驻点、不可导点、端点的函数值都列出来比，端点绝对不能漏。渐近线分三种：水平是x→∞的时候压向y=b；竖直是间断点趋向无穷；斜的话要满足f/x→k，同时f−kx→b。作图的时候结合定义域、对称性、增减性、凹凸性、极值拐点、渐近线，按七步来。下一节讲用各阶导数在一点重建函数，就是泰勒公式。