不定积分（上）：原函数、基本积分表与线性性质

积分是求导的逆运算。先搞懂原函数和不定积分的定义，明白结果为啥带任意常数C，把导数表反过来用就能得到基本积分表，用线性性质处理直接积分的问题就行。

就记着：原函数的定义是啥，还有原函数之间差的那个常数 C，是中值定理推论给的结论。
就讲不定积分记号∫f(x)dx=F(x)+C的含义和几何意义
熟记基本积分表，每条都是导数公式的逆向。
会用线性性质 ∫(af+bg)=a∫f+b∫g 做直接积分

已知变化率，反求函数本身

前面一直在做给函数求变化率（导数）。反过来的问题也常见：知道瞬时速度v(t)，求位移s(t)；知道边际成本，求总成本；知道曲线每点斜率，求曲线方程。这就是求导的逆运算——不定积分。它也是下一章定积分（累积求和、面积）的计算基础，两者由微积分基本定理统一。

1.1 原函数：谁的导数是我

定义：若在区间 I 上 F′(x)=f(x)（或 dF(x)=f(x)dx），称 F(x) 是 f(x) 在 I 上的一个原函数。例：因 (x²)′=2x，故 x² 是 2x 的一个原函数；(sinx)′=cosx，sinx 是 cosx 的原函数。

一个函数有多少原函数？如果F是f的原函数，那随便加个常数C，F(x)+C也是f的原函数——因为常数导数是0。反过来，用m3的中值定理推论：导数相同的两个函数，差的是常数。所以f的任意两个原函数，差肯定是常数。那f的全体原函数，就是{F(x)+C : C∈ℝ}，这是一族上下平移的曲线，叫原函数族。

ℹ️为什么常数 C 绝不能漏

不定积分答案是「一族」函数，漏写 C 在考试和推导中都算错。几何上，∫f(x)dx 是一族积分曲线，任两条只差竖直平移，同一横坐标处的切线互相平行，斜率都等于 f(x)。给定初值 (x₀,y₀) 才能唯一确定 C，锁定一条曲线，这正是微分方程初值问题的雏形。

1.2 不定积分的记号

f(x) 的全体原函数记作 ∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 ∫ 叫积分号、f(x) 叫被积函数、f(x)dx 叫被积表达式、x 叫积分变量、C 叫积分常数。记号里带 dx 不是装饰：它指明对谁积分，也和微分 dF=f dx 直接对应，换元时 dx 必须一起变换。检验积分结果对不对，唯一硬标准是求导：d/dx[F(x)+C] 必须等于 f(x)。

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1.3 基本积分表：把导数表反着背

每条积分公式都是对应导数公式反过来的，求导验证就行，不用重新造一套。

示例

# 基本积分表（C 省略）
# ∫ 0 dx = C
# ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1)   (n≠-1)
# ∫ 1/x dx = ln|x|
# ∫ e^x dx = e^x
# ∫ a^x dx = a^x/ln a
# ∫ sin x dx = -cos x ;  ∫ cos x dx = sin x
# ∫ sec^2 x dx = tan x ;  ∫ csc^2 x dx = -cot x
# ∫ 1/(1+x^2) dx = arctan x
# ∫ 1/sqrt(1-x^2) dx = arcsin x

两个最易错点：幂函数 ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1) 要求 n≠−1；n=−1 是特例 ∫1/x dx=ln|x|，绝对值保证 x<0 时也成立（(ln|x|)′=1/x）。三角函数的符号：∫sinx dx=−cosx（因为 (−cosx)′=sinx），与求导方向相反，最容易写反。记不住就立刻对结果求导自检。

填空题填写空白处的代码

# 直接积分，补全结果 # ∫ x^3 dx = x^4/ + C # ∫ 1/x dx = + C # ∫ cos x dx = + C

1.4 线性性质与直接积分法

不定积分保持线性：∫[a f(x)+b g(x)]dx = a∫f dx + b∫g dx（a,b 常数）。它是求导线性的反转。多项式、常数倍、和差的积分可以逐项套积分表，这叫直接积分法。

例：∫(3x²−2x+1)dx = 3·x³/3 − 2·x²/2 + x + C = x³−x²+x+C。例：∫(x+1)²/x dx 先化简被积函数：(x²+2x+1)/x=x+2+1/x，再逐项 = x²/2+2x+ln|x|+C。很多题「不能直接套表」只是因为没先代数化简——展开、约分、拆项、用三角恒等式，把被积函数整理成积分表里有的形状，是第一要务。

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选择题

下列计算正确的是？

找 Bug作者把 ∫cosx 错写成 −cosx；(−cosx)′=sinx≠cosx。∫cosx=sinx，求导验证即可发现。

# 计算 ∫(2x + cos x) dx，下面结果有误 result = x^2 + (-cos x) + C # 作者：cos 的积分记得有负号

本节小结

原函数满足 F′=f，全体原函数 F+C 由中值定理保证只差常数，不定积分 ∫f dx=F+C 不能漏 C，dx 标明积分变量。基本积分表是导数表的逆向，n=−1 时 ∫1/x=ln|x|、∫sin=−cos。积分保持线性，复杂被积函数先代数化简再逐项套表，任何结果都可用求导回去验证。下一节学习第一个真正的技巧：凑微分（第一换元）。

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定积分是黎曼和（切成无穷多个细矩形再求和）的极限：几何上是曲线下面积，物理上是由速度累积位移、由功率累积功。微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）揭示微分与积分互为逆运算，把「求极限和」转化为「找原函数代入上下限」，让面积真正可计算。