复合函数：变化率会「层层传递、相乘放大」

现实里的函数基本都是嵌套出来的：油价随时间变，运费随油价变，那运费随时间的变化率，就是两层变化率相乘。数学上，要是 y=f(u)、u=g(x)，复合函数 y=f(g(x)) 在 x 处的变化，得先经过内层 g，再经过外层 f，两层变化率相乘，这就是链式法则。

3.1 链式法则的叙述与直观证明

g 在 x 可导、f 在 u=g(x) 可导的话，复合函数 f∘g 在 x 可导，导数是 f′(g(x))·g′(x)。莱布尼茨记号写成 dy/dx=(dy/du)(du/dx)，看起来像 du 被约分，直观好记。严格证明要处理 du=0 的退化情形，但结论不变。

给x一个小增量Δx，内层会出Δu≈g′(x)Δx，外层再根据这个Δu出Δy≈f′(u)Δu，代回去就是Δy≈f′(u)g′(x)Δx，两边除以Δx取极限，结果就出来了。多层嵌套比如f(g(h(x)))，就从最外层往内，每层求导数再连乘：f′(g(h))·g′(h)·h′，像剥洋葱似的。

例1：y=sin(x²)。外层sinu、内层u=x²；外层导数cosu（保留u）、内层2x，相乘得y′=cos(x²)·2x=2x cos(x²)。别和(sinx)²=sin²x搞混：后者外层是u²、内层sinx，导数2sinx·cosx=sin2x。谁在外层结果完全不同，拆层是关键。

例 2（三层）：y=e^sin(2x)。最外层 e^u 导数是 e^u，不变，乘 u=sin(2x) 的导数 cos(2x)，再乘最内层 2x 的导数 2，得 y′=e^sin(2x)·cos(2x)·2=2cos(2x)e^sin(2x)。每过一层乘一个该层导数，一个都不能漏——漏层是链式法则第一大错。

3.2 反函数求导：导数互为倒数（在对应点）

若 y=f(x) 严格单调、f′(x)≠0，那它的反函数 x=f⁻¹(y) 在对应点可导，且 (f⁻¹)′(y)=1/f′(x)，这里 x=f⁻¹(y)。几何上，反函数图像和原函数关于直线 y=x 对称，切线也关于 y=x 对称，斜率互为倒数，就是直线关于 y=x 反射后的斜率关系。用 dy/dx 记号好记：dx/dy=1/(dy/dx)。

y=lnx 是 x=eʸ 的反函数。已知 (eʸ)′=eʸ=x，故 (lnx)′=1/(eʸ)=1/x。一般指数 aˣ 与 logₐx 互为反函数，可同样互推。

例（反正切）：y=arctanx 是 x=tany 的反函数，(tany)′=sec²y=1+tan²y=1+x²，故 (arctanx)′=1/(1+x²)。反正弦同理：y=arcsinx ⟺ x=siny，(siny)′=cosy=√(1−sin²y)=√(1−x²)（主值区间 cos≥0），故 (arcsinx)′=1/√(1−x²)。导数表中反三角函数那几行全部由此而来。

3.3 对数求导法：专治幂指与连乘连除

碰到两类函数，直接求导太费劲：①幂指函数 y=u(x)^v(x)，底和指数都带x，既不是纯幂函数也不是纯指数函数，用幂法则、指数法则都不行；②一堆因子乘除开方的函数。先取对数，把幂指变成乘积、乘积变成求和，再隐式求导，这就是对数求导法。

步骤（以 y=x^x，x>0 为例）：①两边取自然对数 ln y=x·lnx；②两边对 x 求导，左边用链式法则得 (1/y)·y′，右边用乘积法则得 lnx+x·(1/x)=lnx+1；③解出 y′=y(lnx+1)=xˣ(lnx+1)。注意：左边 lny 对 x 求导时，y 是 x 的函数，必须走链式得到 y′/y，绝不能直接当成 1/y。

连乘例子：y=(x−1)(x−2)/(x−3)，取对数 ln y=ln(x−1)+ln(x−2)−ln(x−3)，求导 y′/y=1/(x−1)+1/(x−2)−1/(x−3)，再乘回 y 即可，比硬套商法则+乘积法则清爽且不易错。取对数要求各因子为正或先取绝对值，|ln|u||′=u′/u 依然成立。

3.4 一阶微分形式不变性（先建立印象）

dy=f′(x)dx 就这么定义。不管 x 是自变量还是别的变量的函数，dy=f′(x)dx 这个形式都成立，这叫一阶微分形式不变性，它就是链式法则用微分说的样子，还能用来凑微分积分。就记住：链式法则不光是求导技巧，它让微分记号换变量时能自洽。

本节小结

链式法则：[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x)，多层嵌套逐层相乘，一层都不能漏。反函数导数在对应点互为倒数：(f⁻¹)′(y)=1/f′(x)，lnx、arcsinx、arctanx的导数都是这么推出来的。幂指函数、连乘连除用对数求导法：取对数→对x求导（左侧得y′/y）→乘回y。至此，任意初等函数的显式导数都能可靠求出来。下一节处理「没有显式解出y」的函数：隐函数与参数方程，还会讲相关变化率。