不是所有曲线都方便写成 y=f(x)

圆 x²+y²=R² 硬解成 y=±√(R²−x²)，要分上下两支，还带根号。更一般的曲线可能根本解不出 y。但曲线上每一点仍有切线，仍有斜率 dy/dx。隐函数求导不用解出 y，直接从方程 F(x,y)=0 求斜率。参数方程用第三个变量（常是时间 t）分别描述 x、y，是运动轨迹与物理问题的自然语言。

4.1 隐函数求导：把 y 当作 x 的函数，两边求导

方程两边都关于 x 求导。含 x 的项正常求；凡含 y 的项，因为 y 本身依赖 x，一律走链式法则——例如 (y²)′=2y·y′、(siny)′=cos y·y′、(eʸ)′=eʸ·y′。求完后会得到一个含 y′ 的方程，把 y′ 当未知数代数解出即可，结果里允许同时保留 x 和 y（用该点坐标代入求值）。

例（圆 x²+y²=25 在点 (3,4) 的切线）：两边对 x 求导，2x+2y·y′=0，解得 y′=−x/y。代入 (3,4) 得斜率 −3/4，切线 y−4=−3/4(x−3)。若硬解 y=√(25−x²) 用链式求导，y′=−x/√(25−x²)=−x/y，结论一致，但隐函数求导免去了解根号且上下两支通用。

隐函数求导是推导反函数导数的干净工具：y=f⁻¹(x)等价于f(y)=x，两边对x求导得f′(y)·y′=1，即y′=1/f′(y)，和上一节结论一样。不同技巧背后是同一条链式法则。

4.2 参数方程求导：用 t 做中介

曲线用参数方程 x=x(t)、y=y(t) 表示，t 是参数。在 x′(t)≠0 的地方，dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y′(t)/x′(t)。两个对 t 的变化率相除，dt 就消掉了，得到 y 对 x 的斜率。几何上，这是轨迹点在 t 时刻的运动方向，也就是速度向量 (x′,y′) 的斜率。

二阶导要小心，不能简单把一阶导再除以 x′(t) 就完事。因为一阶导 dy/dx=g(t) 仍是 t 的函数，要再对 x 求导，必须再走一次「对 t 求导再除以 dx/dt」：d²y/dx² = [d/dt(dy/dx)] / (dx/dt)。口诀：每一阶对 x 的导数，都等于先对 t 求导、再除以 x′(t)。

4.3 相关变化率：两个量耦合变化时，变化率也耦合

实际问题常是两个量都随时间 t 变化，还由一个固定方程联系，比如气球半径 r 和体积 V，已知一个的变化率求另一个。解法：①写出联系两量的方程，比如几何、物理公式；②两边对 t 求导，用链式法则把各量的变化率串起来；③代入该时刻的已知量和已知变化率，解未知变化率。注意：代入数值必须在求导之后，不能先把瞬时值当常数代进去再求导。

球形气球以 dV/dt=100 cm³/s 匀速充气，求半径 r=5 时半径的增长 dr/dt。体积 V=(4/3)πr³，对 t 求导 dV/dt=4πr²·dr/dt，故 dr/dt=(dV/dt)/(4πr²)=100/(4π·25)=1/π≈0.318 cm/s。同样的体积增速，半径越大涨得越慢，因为体积对半径的 4πr² 在增大。

本节小结

F(x,y)=0 这种隐式方程求导，直接两边对 x 求导就行，带 y 的项要走链式法则带出 y′，最后解出 y′，不用先把 y 显化成 x 的函数。这个方法合法的前提是隐函数定理要求的 ∂F/∂y≠0。参数方程一阶导是 dy/dx=y′(t)/x′(t)，二阶导得先把一阶导对 t 求导，再除以 x′(t)。相关变化率的步骤是先列约束方程，两边对 t 求导，最后代入瞬时值。这三个求导方法，核心都是链式法则。下一节单独讲微分，再聊高阶导数。