多项式是最好算的函数——那就用多项式逼近一切

计算机只会加减乘除，却要算 eˣ、sinx、lnx，靠的就是泰勒公式：在一点 a 附近，用函数在该点的函数值与各阶导数，拼出一个「接触阶数」越来越高的多项式去逼近它。一阶泰勒就是上一章的微分线性近似，泰勒把它推进到任意阶，是科学计算与众多算法的数学内核。

6.1 泰勒定理的叙述

若 f 在含 a 的区间上有直到 n+1 阶导数，对区间内任意 x，f(x)=Pₙ(x)+Rₙ(x)，其中 n 阶泰勒多项式

Pₙ(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)/2!·(x−a)²+…+f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x−a)ⁿ=Σ_k=0ⁿ f⁽ᵏ⁾(a)/k!·(x−a)ᵏ。

构造方式保证在 a 点 Pₙ 和 f 的函数值、一阶…n 阶导数全相等，这叫「n 阶接触」，所以是 a 附近最优的 n 次多项式逼近。取 a=0 时叫麦克劳林公式，最常用。

6.2 两种余项：一个管「阶」，一个管「误差界」

佩亚诺余项 Rₙ(x)=o((x−a)ⁿ)：只说当 x→a 时误差比 (x−a)ⁿ 更快趋于 0，用于求极限、判断局部阶数非常方便，但不给具体误差大小。

②拉格朗日余项 Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!·(x−a)ⁿ⁺¹，ξ 介于 a 和 x 之间。形式就是再多展开一项，导数取在未知的 ξ 上，用柯西中值定理反复应用就能证出来。它能算误差上界：只要区间上 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 有上界 M，|Rₙ|≤M|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)!，就能知道取几项能精确到多少位。

6.3 五个必须会背、会推的麦克劳林展开

规律帮你省死记硬背的功夫：eˣ 展开系数全正，分母是阶乘；sin、cos 分别来自 eˣ 的奇次、偶次项，符号交替，还能解释欧拉公式；ln(1+x) 系数是 1/k 交替；(1+x)^α 用广义二项系数 α(α−1)…/(k!)。这些展开式都能反复求 f⁽ᵏ⁾(0) 现场推出来，不用硬背。

6.4 用泰勒求极限：等价无穷小的「来源」

所有常用等价无穷小都是泰勒首项：sinx~x、1−cosx~x²/2、ln(1+x)~x、eˣ−1~x、(1+x)^α−1~αx。遇到0/0且洛必达麻烦时，把各函数展开到第一个非抵消的阶，分子分母只留最低阶即可。例 lim x→0 (x−sinx)/x³：sinx=x−x³/6+o(x³)，分子=x³/6+o(x³)，极限=1/6，比连续三次洛必达干净。

6.5 泰勒为何是数值计算与优化的核心

数值上，拉格朗日余项能按需控精度：算eˣ只要|x|不大，阶乘增长让余项快速衰减，几项就到双精度。优化里，梯度下降是「只取泰勒一阶」沿负一阶方向走；牛顿法用「二阶泰勒」f(x+d)≈f(x)+f′(x)d+½f″(x)d²，令其对d导数为0得d=−f′/f″，用曲率信息收敛更快；多元时二阶项是海森矩阵，反向传播算的梯度正是一阶泰勒系数。理解泰勒，就理解了几乎所有局部近似算法的统一来源。

本节小结 · m3 收官

泰勒公式用 f 在 a 点的 0..n 阶导数构造 Pₙ，和函数 n 阶接触。佩亚诺余项管局部阶，拉格朗日余项管可证误差界。eˣ、sin、cos、ln(1+x)、(1+x)^α 的展开要会背会推，用泰勒求极限要展开到最低非抵消阶。泰勒是线性近似、等价无穷小、梯度下降与牛顿法的共同源头。m3 完成：中值定理→洛必达→性态→极值作图→泰勒。下一章 m4 转入「求导的逆运算」——不定积分。