不定积分（中）：第一换元法（凑微分）

遇到被积函数是「外函数 × 内层导数」的结构时，用凑微分把复合整体设为 u，化繁为简；记牢常见凑微分模式，会算复合函数积分

就看这个公式：∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du，u=φ(x)。这是第一换元公式，它和链式法则是反过来的关系。
就记这几个常见微分，别搞混：dx、xⁿdx、1/x dx、eˣdx、三角微分。
掌握线性内层 ax+b 的统一处理：∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C
能处理含复合结构的积分并求导验证

链式法则倒着走，就是凑微分

求导时 [F(φ(x))]′=F′(φ(x))φ′(x)，这是链式法则。把它反过来用：要是被积函数刚好写成 f(φ(x))·φ′(x)，就令 u=φ(x)，这时候 φ′(x)dx=du，积分就变成 ∫f(u)du，对 u 积分完再把 u 换回去成 φ(x)。这就是第一换元法，俗称凑微分，是用得最多的积分技巧。

2.1 定理与标准流程

第一换元公式：∫ f(φ(x))·φ′(x) dx = [∫ f(u) du]_u=φ(x) = F(φ(x))+C，其中 F′=f。正确性由链式法则保证：右边对 x 求导 =F′(φ(x))φ′(x)=f(φ(x))φ′(x)，正是被积函数。

凑微分就四步，按这个来：先看被积函数，找内层φ(x)和它的导数φ′(x)能不能凑到一起；令u=φ(x)，把φ′(x)dx换成du；化简成∫f(u)du后套基本积分表；最后把u=φ(x)代回去，加个C就行。

入门例：∫2x·cos(x²)dx。内层 u=x²，其导数 2x 恰好就在被积函数里，于是 2x dx=du，原式=∫cosu du=sinu+C=sin(x²)+C。求导验证：[sin(x²)]′=cos(x²)·2x，正确。若没有现成的 2x，只有 x，就补常数：∫x cos(x²)dx=½∫cos(x²)d(x²)=½sin(x²)+C。

填空题填写空白处的代码

# ∫ e^(3x) dx：令 u=3x, du=3dx, dx=du/3 # = (1/3)∫ e^u du = + C = (1/3)e^(3x)+C # ∫ x/(1+x^2) dx：令 u=1+x^2, du= dx（x dx = du/2），得 (1/2)ln(1+x^2)+C

2.2 常用凑微分模式表

凑微分的本质，是把积分基本表里的x换成u后的逆向识别，常见形式（左边被积结构→右边代换）：

示例

# 常见凑微分（k,a,b 为常数，a≠0）
# ∫ f(ax+b) dx        -> u=ax+b, dx=du/a
# ∫ x^(n-1) f(x^n) dx  -> u=x^n, x^(n-1)dx=du/n
# ∫ (1/x) f(ln x) dx   -> u=ln x
# ∫ e^x f(e^x) dx      -> u=e^x
# ∫ cos x f(sin x) dx  -> u=sin x ; ∫ sin x f(cos x) dx -> u=cos x(注意负号)
# ∫ 1/(1+x^2) f(arctan x) dx -> u=arctan x

💡线性内层 ax+b 的万能处理

对 ∫f(ax+b)dx，令 u=ax+b、dx=du/a，结果是 (1/a)F(ax+b)+C。例 ∫e^2x+1dx=½e^2x+1+C、∫sin(3x)dx=−⅓cos3x+C、∫1/(1+(5x)²)dx=⅕arctan(5x)+C。记住「内层是线性就除以斜率 a」，可批量解决一大类。

2.3 凑常数、凑符号与「差一点」的处理

实战中内层导数往往只差一个常数倍，用「乘除同一常数」补齐即可：∫x e^x²dx，需要 2x dx，现有 x dx，于是 x dx=½d(x²)，得 ½e^x²+C。差负号同理：∫tanx dx=∫sinx/cosx dx，令 u=cosx、du=−sinx dx，原式=−∫du/u=−ln|cosx|+C=ln|secx|+C。

再看两个要先变形的例子：∫1/(1+eˣ) dx 不能直接凑，分子加减 eˣ：1/(1+eˣ)=(1+eˣ−eˣ)/(1+eˣ)=1−eˣ/(1+eˣ)，于是 =x−ln(1+eˣ)+C。∫sin²x dx 用降幂公式 sin²x=(1−cos2x)/2 再凑 u=2x，得 x/2−sin2x/4+C。凑微分常需先做一步恒等变形，为代换创造条件。

示例代码（可运行）

Python 0%

选择题

∫ x·√(x²+1) dx 等于？

预测输出

计算 ∫ sec²x·e^{tan x} dx，指出代换与结果。

本节小结

第一换元（凑微分）是链式法则的逆。识别 f(φ(x))φ′(x) 结构，令 u=φ(x)、φ′dx=du，对 u 积分后回代。内层只差常数倍时乘除补齐，线性内层 ax+b 统一 (1/a)F(ax+b)。常用模式包括 xⁿ、1/x、eˣ、sin/cos、arctan 凑微分。凑不出来时先做恒等变形（拆项、降幂、加减项）。下一节处理「凑不出内层导数」的情形——第二换元法。

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它把「无限接近」这种模糊说法严格化：对任意你给定的接近程度 ε（函数值与目标的差距），我都能找到一个 δ（自变量的范围），只要自变量落在这个范围内就能保证输出达到你要的精度。这套「以有限控无限」的语言是整个微积分的地基，也是绝大多数证明题的标准书写套路。