凑不出来，就主动「换掉 x」

凑微分是把一坨 φ(x) 设为 u，简化被积表达式。但遇到 √(a²−x²) 这类根号，里面的导数凑不出来，根号也没法直接套积分表。第二换元法反着来：主动令 x=φ(t)，一般用三角函数，用三角恒等式把根号化成单项式，积分完再换回 x。方向相反，目标一样——变成能直接套积分表的形式。

3.1 第二换元公式与方向

令 x=φ(t)，φ 单调可导且 φ′≠0，那么 dx=φ′(t)dt，∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ′(t)dt。如果右边积分算出 G(t)+C，就用 t=φ⁻¹(x) 代回去，得到 G(φ⁻¹(x))+C。和第一换元的区别就是谁替换谁：第一换元是 u=φ(x)，用表达式换内层；第二换元是 x=φ(t)，直接换自变量，专门用来处理根号。

3.2 三种三角代换（核心）

就用三条勾股恒等式去根号，默认取主值区间，开方结果非负。

①含 √(a²−x²)：令 x=a·sin t，则 a²−x²=a²cos²t、根号=a cos t，dx=a cos t dt（−π/2≤t≤π/2，cos≥0）。

②含 √(a²+x²)：令 x=a·tan t，则根号=a sec t，dx=a sec²t dt（−π/2<t<π/2，sec>0）。

③含 √(x²−a²)：令 x=a·sec t，则根号=a tan t，dx=a sec t tan t dt（取 0≤t<π/2）。

经典例：∫√(a²−x²)dx（半径 a 的圆相关面积）。令 x=a sin t，原式=∫a cos t·a cos t dt=a²∫cos²t dt=a²(t/2+sin2t/4)+C。回代用辅助三角形：由 sin t=x/a 画「对边 x、斜边 a、邻边 √(a²−x²)」的直角三角形，得 t=arcsin(x/a)、cos t=√(a²−x²)/a，最终 =(a²/2)arcsin(x/a)+(x/2)√(a²−x²)+C。

3.3 根式代换与倒代换

①简单根式 ∫R(x,√(ax+b))dx：令 t=√(ax+b)，则 x=(t²−b)/a、dx=(2t/a)dt，根号被单个 t 取代，化为有理函数积分。含 √(ax+b) 与 ⁿ√ 叠套时取根指数的最小公倍数作代换。

②倒代换 x=1/t：处理分母次数远高于分子的有理式，常能立刻降次。例 ∫1/[x√(x²+1)] dx（x>0），令 x=1/t、dx=−1/t² dt，√(x²+1)=√(1+t²)/t，化简后 =−∫1/√(1+t²)dt=−ln(t+√(1+t²))+C，再回代。换元无定法，化简即正义。

3.4 两类换元如何选择

先凑微分——被积函数里能凑出内层导数的话，这是最快的方法。要是有根号挡路，又凑不出微分，就用第二换元。√(a²±x²) 用三角代换，√(ax+b) 用根式代换，分母高次的话用倒代换。分部积分是用来处理两类不同函数相乘的，下一节讲。实际做题常把方法组合用，比如先换元再分部，每一步的目的都明确：把不认识的积分变成积分表里见过的。

本节小结

第二换元主动令 x=φ(t)：√(a²−x²)→a sin t、√(a²+x²)→a tan t、√(x²−a²)→a sec t，借助勾股恒等式去根号；√(ax+b) 用 t=√(ax+b)、高次分母用倒代换 x=1/t。积完用辅助直角三角形把 t 换回 x。下一节讲乘积型积分的分部积分。