乘积求导反过来，就是分部积分

凑微分管的是链式结构。但像 ∫x·eˣdx、∫x·cosx dx 这种两类不同函数相乘的积分，里面没内层导数能凑。它对应乘积求导法则 (uv)′=u′v+uv′ 的反转——把难积分拆成一个边界项加一个更简单的积分，这就是分部积分。

4.1 公式推导

由 (uv)′=u′v+uv′ 两边积分：uv=∫u′v dx+∫uv′ dx，移项得 ∫u v′ dx=uv−∫u′v dx。写成微分形式（dv=v′dx、du=u′dx）即分部积分公式：

∫ u dv = u v − ∫ v du。

用「好求导的 u」换「好积分的 dv」，把原积分换成 ∫v du。选得好的话，新积分比原积分简单。成败全在 u、dv 的分配上。

入门例 ∫x eˣ dx：令 u=x（求导变 1，降次）、dv=eˣdx（则 du=dx、v=eˣ），原式=x eˣ−∫eˣdx=x eˣ−eˣ+C=(x−1)eˣ+C。若反过来令 u=eˣ、dv=x dx，会得到 ½x²eˣ−½∫x²eˣdx，反而更复杂——可见选择至关重要。

4.2 LIATE：谁当 u 的优先级

积分凑 u 用 LIATE 法则，越靠前的越设成 u，剩下的整体当 dv。L 是对数（log）、I 是反三角（inverse trig）、A 是代数/幂（algebraic）、T 是三角（trig）、E 是指数（exponential）。为啥这么排？对数、反三角求导后变简单，但直接积分难，必须当 u；指数、三角积分容易，就当 dv。举个例子：∫x ln x dx，按法则对数优先，设 u=lnx，dv=x dx。算出来是½x²lnx−∫½x²·(1/x)dx，再化简就是½x²lnx−¼x²+C。

4.3 降次型：多次分部

多项式 × (三角或指数)：每次让多项式当 u 求一次导，次数降一，需要 n 次分部直到多项式变常数。∫x² sinx dx 第一次 u=x²、dv=sinx dx → −x²cosx+2∫x cosx dx，后者再分部一次得 x sinx+cosx，合并 −x²cosx+2x sinx+2cosx+C。这类「表格法/对角法」可加速：左列反复求导到 0，右列反复积分，斜向相乘交替加减，本质就是连续分部。

4.4 循环型：积着积着又遇到自己

∫eˣ sinx dx、∫eˣcosx dx、∫sec³x dx 等，分部两次后会重新出现原积分 I，把它当未知数解方程即可。例 I=∫eˣsinx dx：第一次 u=sinx,dv=eˣdx → eˣsinx−∫eˣcosx dx；对新积分再分部 u=cosx,dv=eˣdx → eˣcosx+∫eˣsinx dx=eˣcosx+I。代回 I=eˣsinx−eˣcosx−I，故 2I=eˣ(sinx−cosx)，I=½eˣ(sinx−cosx)+C。关键：两次分部选 u 的「类型」必须一致（都让三角当 u），否则会原路退回、空转。

本节小结

分部积分 ∫u dv=uv−∫v du 是乘积法则的逆，用于两类不同函数相乘。按 LIATE（对数>反三角>幂>三角>指数）选 u：对数反三角当 u 求导化简、三角指数当 dv 好积分。多项式×三角/指数需多次分部降次；eˣsinx、sec³ 等分部后出现原积分，按方程解 I，且两次选 u 类型要一致。下一节处理最后一大类：有理函数的系统积分法。