当区间无穷、或函数在端点「爆炸」

普通定积分要求区间有限、被积函数有界。但概率里的高斯积分 ∫_−∞^∞e^−x²、物理里 1/x² 从 1 积到无穷、以及 1/√x 在 0 附近，都突破了这两条。反常积分用「先在正常范围积分、再取极限」把它们纳入体系，极限存在则收敛、否则发散。

4.1 第一类：无穷限反常积分

定义：∫_a^+∞f(x)dx=lim_b→∞∫_a^b f，极限存在则收敛。先找原函数 F，再算 lim F(b)−F(a)。例 ∫₁^∞1/x² dx=lim[−1/x]₁^b=0−(−1)=1，收敛到 1。例 ∫₁^∞1/x dx=lim ln b=∞，发散——幂次差一点，敛散天壤之别。

p-积分（无穷型）：∫₁^∞1/x^p dx，p>1时收敛，结果是1/(p−1)；p≤1时发散。它是比较判别的标尺。双侧无穷积分∫_−∞^∞要在任取的中间点（比如0）拆成两段，两段都收敛才算收敛，不能只看对称极限。

4.2 第二类：瑕积分（无界函数）

f在端点b附近无界（b是瑕点/奇点），∫_a^b f就定义成lim_t→b⁻∫_a^t f。奇点在积分区间内部的话，要拆成奇点左右两段积分，两段都收敛，整个积分才收敛。举个例子：∫₀¹ 1/√x dx=lim_t→0⁺[2√x]_t¹=2，这个积分收敛——虽然函数在0附近无界，但算出来的面积是有限的。

p-积分（瑕型）：∫₀¹ 1/x^p dx 当 p<1 收敛（=1/(1−p)）、p≥1 发散。注意阈值与无穷型正好相反：靠近 0 时幂次「越负越好积」。这解释了上一章 ∫₋₁¹ 1/x² 为何发散——p=2≥1 的内部瑕积分，两段都发散。

4.3 比较判别与极限比较

非负函数找不到原函数时，用比较判别：0≤f≤g 且 ∫g 收敛，那 ∫f 收敛；f≥g≥0 且 ∫g 发散，那 ∫f 发散。更常用极限形式：lim f(x)/g(x)=L∈(0,∞)，则 ∫f 和 ∫g 同敛散。操作上把被积函数在无穷远处用「主导项」等价替换，再对照 p-积分。

例：判断 ∫₁^∞1/(x+eˣ) dx。x→∞ 时 eˣ 主导，1/(x+eˣ)~e^−x，而 ∫₁^∞e^−x=e⁻¹ 收敛，故原积分收敛。例：∫₁^∞(x+1)/(x³+2) dx，主导项 x/x³=1/x²（p=2>1），收敛。

4.4 绝对收敛、条件收敛与柯西主值

若 ∫|f| 收敛，称 ∫f 绝对收敛，绝对收敛必推出自身收敛，用 f=|f| 与 0 组合、比较判别可证。存在条件收敛：自身收敛但 ∫|f| 发散，典型 ∫₁^∞ sinx/x dx——靠正负振荡抵消收敛，狄利克雷判别，取绝对值 ∫|sinx|/x 发散。这与级数的条件收敛同源，m6 会再遇。

柯西主值：内部奇点或双侧无穷的反常积分，正常要拆分后各自取极限。如果强制让两侧以相同速度逼近，得到的有限值就是柯西主值PV，比如PV∫_−∞^∞x/(1+x²)dx=0。但要注意：它不代表这个反常积分真的收敛，用的时候必须显式标出来，不能当成普通积分值用。

本节小结

反常积分用极限把积分推广到无穷区间与无界函数：无穷型 ∫₁∞1/xᵖ 在 p>1 收敛，瑕型 ∫₀¹ 1/xᵖ 在 p<1 收敛，阈值相反。非负函数用比较、极限比较对照标尺判敛散。绝对收敛强于条件收敛，sinx/x 条件收敛。内部奇点必须拆分，柯西主值不等于收敛。下一节讲定积分落地：面积、体积、弧长与物理量。