微元法：一切「连续累加」问题的统一套路

定积分应用不用死记公式，核心是微元法：在x处取宽dx的一小条，把这一小条内的量用「以直代曲、以不变代变」写成微元dQ=f(x)dx，再在整个范围积分Q=∫dQ。掌握「切微元—写表达式—定限积分」三步，面积、体积、弧长、功、质量都是同一思想的不同例子。

5.1 平面面积

直角坐标下，曲线 y=f(x)（f≥0）下方面积 A=∫_a^b f(x)dx；两曲线 y上=g(x)、y下=h(x) 之间面积 A=∫_a^b [g(x)−h(x)]dx，注意：要先求两曲线交点来定积分上下限。对 y 积分时，用 x右−x左 计算更方便。

极坐标里，曲线 r=r(θ) 从 α 到 β 扫过的扇形面积 A=½∫_α^β r(θ)² dθ。微元是圆心角 dθ 的小扇形，公式是½r²dθ。举个例子，r=1 从 0 到 2π，代入公式得½∫1 dθ=π，正好是单位圆的面积。

5.2 旋转体体积

把区域绕轴旋转得到立体，两种切法：

圆盘/垫圈法（垂直于旋转轴切片）：绕 x 轴，截面是半径 |f(x)| 的圆盘，dV=π[f(x)]²dx，V=π∫_a^b [f(x)]²dx；区域在两曲线间则是垫圈，V=π∫(R²−r²)dx（外半径平方减内半径平方）。

②圆柱壳法（平行于旋转轴切条）：绕 y 轴，竖条高 h(x)，到轴距离 x，卷成薄圆柱壳 dV=2πx·h(x)dx，V=2π∫_a^b x h(x)dx。两种方法结果一致，按切片后半径、高度谁好表达选用，壳法常免去解反函数。

5.3 弧长：把无数小段切线接起来

平面曲线 y=f(x) 从 a 到 b 的弧长：小段弧长微元 ds=√(1+[f′(x)]²)dx（由勾股 ds²=dx²+dy²、dy=f′dx 得到），故 L=∫_a^b √(1+(dy/dx)²) dx。参数曲线 x=x(t),y=y(t)：L=∫√(x′²+y′²)dt（速度大小对时间积分，即路程）。例 y=x^3/2 从 0 到 4，y′=(3/2)√x，L=∫₀⁴√(1+9x/4)dx 可凑微分积出。

5.4 平均值与物理微元

函数平均值：f̄=(1/(b−a))∫_a^b f(x)dx（m5-l1 积分中值保证存在点取到该值）；推广到加权平均、均方根 √(∫f²/(b−a))（交流电有效值）。

物理微元示例：①变力沿直线做功 W=∫_a^b F(x)dx（如拉伸弹簧 ½kx²、抽水克服重力分层积分）；②线密度 ρ(x) 的细杆质量 m=∫ρ(x)dx、质心坐标 x̄=∫xρ dx/∫ρ dx；③变速直线路程 ∫|v(t)|dt、位移 ∫v(t)dt；④旋转曲面面积 S=2π∫f(x)√(1+f′²)dx。共同模式都是「密度/率 × 微元长度」再积分。

本节小结 · m5 收官

微元法就三步：切微元、写dQ、定限积分，所有应用都能用这个框架套：面积用∫(上−下)、极坐标用½∫r²dθ；旋转体圆盘用π∫f²，垫圈用π∫(R²−r²)，壳用2π∫xh；弧长用∫√(1+f′²)dx，参数式用∫√(x′²+y′²)dt；平均值、功、质量这些物理量，本质都是「率×微元」的积分。定积分的内容就到这了：定义→基本定理→技巧→反常→应用。下一章m6，学无穷级数和微分方程入门，为后续AI数学（梯度、优化、概率）收束单变量微积分。