0/0 与 ∞/∞：不能直接代入，却能「分子分母分别求导」

上一章用恒等变形求 0/0 极限，但 sinx/x、lnx/(x−1) 这类靠约分很费劲。洛必达法则给出统一程序：在满足条件时，未定式的极限等于「分子导数比分母导数」的极限。它是柯西中值定理的直接推论。

3.1 0/0 型法则与证明思路

定理（0/0 型）：若在 x→a（a 可为有限或 ±∞）时①f(x)→0、g(x)→0；②在 a 的某去心邻域 f′、g′ 都存在且 g′≠0；③lim f′(x)/g′(x) 存在（或为 ±∞），则 lim f(x)/g(x)=lim f′(x)/g′(x)。∞/∞ 型条件类似（f、g 都趋于无穷），结论相同。

证明思路（0/0，有限 a）：补充定义 f(a)=g(a)=0，不影响极限。f、g 在 a 附近连续。对 a 和邻近点 x 用柯西中值定理：f(x)/g(x) = [f(x)−f(a)]/[g(x)−g(a)] = f′(ξ)/g′(ξ)，ξ 在 a 和 x 之间。x→a 时 ξ→a，右端趋近条件③的极限，得证。洛必达本质是在小区间上用柯西把函数比换成导数比。

例：lim x→0 sinx/x，分子分母都→0，分别求导：(sinx)′=cosx、(x)′=1，比值极限 cos0/1=1，与第一个重要极限一致。例：lim x→1 lnx/(x−1)，0/0，求导得 (1/x)/1→1。

3.2 可以连续使用，但每步都要重新判定未定式

若求一次导后仍是 0/0 或 ∞/∞，且条件仍满足，可再次洛必达，直到能代入。例 lim x→0 (1−cosx)/x²：一次 →sinx/(2x) 仍 0/0，二次 →cosx/2→1/2。注意：每次使用前必须确认仍是未定式；一旦某一步不再是 0/0 或 ∞/∞，就必须停止并直接代入，继续求导会得到错误答案。

3.3 其余五类未定式：统统化归 0/0 或 ∞/∞

未定式共七种：0/0、∞/∞ 可直接洛必达；其余五种先变形。

①0·∞：把其中一个因子取倒数下放分母。例 lim x→0⁺ x·lnx（0·∞）=lim lnx/(1/x)（∞/∞），洛必达 (1/x)/(−1/x²)=−x→0。

②∞−∞：通分或提公因子化为分式。例 lim x→0 (1/sinx−1/x)=lim (x−sinx)/(x sinx)，0/0 后处理得 0（用泰勒 x−sinx~x³/6 最快）。

③幂指三类 0⁰、1^∞、∞⁰：先取对数降维。对 y=u^v 取 ln y=v·lnu，把幂指变成 0·∞ 型，求出 ln y 的极限 L，再 y=e^L。经典 lim x→0⁺ xˣ（0⁰）：ln y=xlnx→0，故 y→e⁰=1；重要极限 lim(1+1/x)ˣ=e 正是 1^∞ 型。

3.4 什么时候别用洛必达：方法选择观

洛必达不是最快的：求导后式子变臃肿、出现eˣ/三角函数循环、或需要高阶精度时，等价无穷小替换和泰勒展开往往一步到位。工业级习惯是：先判断未定式类型 → 能用等价量先化简（sinx~x、1−cosx~x²/2、ln(1+x)~x、eˣ−1~x）→ 需要时再洛必达或泰勒，始终验证前提。多种方法互相印证，能降低出错率。

本节小结

洛必达法则是柯西中值的推论，用来把0/0、∞/∞的极限化成导数比的极限，可以连用，但每一步都要重新判断是不是未定式。0·∞的情况就把其中一项下放成分母，∞−∞的情况通分，幂指函数的未定式取对数，都能化成那两类。使用前提是：是未定式，函数在邻域可导，g′≠0，导数比的极限存在。失效场景有三个：非未定式、循环、导数比振荡，这时候得退回用等价无穷小或者泰勒展开。下一节讲函数性态：用一阶导数判断单调，用二阶导数判断凹凸。