导数还能再求导——变化率也有变化率

导函数 f′(x) 本身仍是 x 的函数，若它还可导，再求一次得到二阶导数 f″(x)=(f′)′(x)，记号 d²y/dx²；继续有三阶 f‴、四阶 f⁽⁴⁾，n 阶记 f⁽ⁿ⁾。物理上位移 s 的一阶导是速度 v、二阶导是加速度 a=v′=s″，三阶加加速度（jerk）描述加速度变化，影响乘坐体感；几何上二阶导决定曲线凹凸，是后面极值判据与泰勒公式的核心材料。

5.1 常见函数的高阶导数规律

逐次求导找规律，是求n阶导的基本办法。

幂函数：(xⁿ)⁽ᵏ⁾=n(n−1)…(n−k+1)xⁿ⁻ᵏ；当 k=n 时得到常数 n!，再求一次（n+1 阶）变 0。所以 d 次多项式的 d+1 阶导数恒为 0。

②指数：(eˣ)⁽ⁿ⁾=eˣ，求导永远是它自己，这是eˣ最特殊的性质，也是它在微分方程和泰勒展开里经常出现的原因。

③正余弦每求四次导循环一次：(sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x+nπ/2)、(cosx)⁽ⁿ⁾=cos(x+nπ/2)。验证：sin→cos→−sin→−cos→sin，正好每次相位 +π/2。

④对数：(lnx)′=1/x，(lnx)″=−1/x²，(lnx)‴=2/x³，一般 (lnx)⁽ⁿ⁾=(−1)ⁿ⁻¹(n−1)!/xⁿ（n≥1），符号交替、阶乘增长。

5.2 乘积的高阶导：莱布尼茨公式

(uv)″=u″v+2u′v′+uv″，(uv)‴=u‴v+3u″v′+3u′v″+uv‴，系数是二项式系数。一般地，(uv)⁽ⁿ⁾=Σ C(n,k) u⁽ⁿ⁻ᵏ⁾v⁽ᵏ⁾（k 从 0 到 n），叫莱布尼茨公式，结构和二项式定理一样。当其中一个因子是低次多项式（求几次导就归零）时，这个公式特别省事。

求 (x²·eˣ) 的 n 阶导。x² 求到三阶就为 0，只剩 k=0,1,2 三项：eˣ·x² + n·eˣ·2x + C(n,2)·eˣ·2 = eˣ[x²+2nx+n(n−1)]。硬逐次求导极易错，套公式一次成型。

5.3 微分：把「线性近似」单独命名

回到增量。可导时 Δy=f(x+Δx)−f(x)=f′(x)Δx+o(Δx)，其中主导项 f′(x)Δx 是关于 Δx 的一次式，称为 f 在 x 的微分，记 dy=f′(x)dx（把自变量增量 Δx 记为 dx）。几何上 dy 是「沿切线走」产生的纵向变化，而 Δy 是「沿曲线走」的真实变化，二者之差是比 Δx 更高阶的小量。函数在一点「可微」与「可导」在一元情形完全等价。

f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)Δx 就是用切线（微分）局部代替曲线。例：估算 √4.04，取 f=√x、x=4、Δx=0.04，f′(4)=1/(2·2)=1/4，故 √4.04≈2+(1/4)(0.04)=2.01，和真值 2.00998… 误差极小。Δx 越小近似越好，误差约为二阶量 (1/2)f″(x)Δx²，这正是下一章泰勒公式的一阶版本。

5.4 一阶微分形式不变性与误差传播

若 y=f(u)、u=g(x)，按微分定义 dy=y′ₓdx=f′(u)g′(x)dx，而 du=g′(x)dx，代回得 dy=f′(u)du。注意这和把 u 直接当自变量时 dy=f′(u)du 形式完全相同——不管 u 是自变量还是中间变量，微分公式外形都不变，这就是一阶微分形式不变性，它是链式法则的微分版本，也让后面的「凑微分」积分合法：du=g′(x)dx 可以整体替换。

误差传播：若量 x 有不确定度（误差）dx，经 y=f(x) 后误差约为 |dy|=|f′(x)|·|dx|，相对误差 |dy/y|=|f′(x)/f(x)|·|dx|。例 y=xⁿ 的相对误差约为 n 倍 x 的相对误差；ln y 的绝对误差≈y 的相对误差。这套线性误差估计是实验数据处理与数值稳定性分析的基础。

本节小结 · 导数与微分模块收官

高阶导是对导函数继续求导：多项式超过次数阶归零、eˣ 任意阶不变、正余弦四阶循环、lnx 第 n 阶为 (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!/xⁿ；乘积高阶导用莱布尼茨公式（二项式系数）。微分 dy=f′(x)dx 是增量的线性主部，一元可微⟺可导，支撑线性近似与误差传播；一阶微分具有形式不变性，是凑微分积分的依据。「导数与微分」五节闭环：定义→法则→链式/隐式→高阶与微分。下一章 m3 用导数研究函数本身：中值定理、洛必达、单调凹凸、极值作图与泰勒公式。