面积与路程：连续量怎么「累加」

矩形面积好算，曲线 y=f(x) 下方、夹在 x=a、x=b 之间的「曲边梯形」面积怎么算？匀速运动路程=速度×时间，变速运动呢？两类问题共享同一套思想：先切成无数小段，每段小到可以「以直代曲、以不变代变」，把小段结果加起来，再让切分无限细密、取极限。这个极限就是定积分，它把「累积」严格化了。

1.1 黎曼和的四步构造

①分割：在 [a,b] 插分点 a=x₀<x₁<…<xₙ=b，分成 n 个小区间，第 i 段宽 Δxᵢ=xᵢ−xᵢ₋₁；记 λ=max Δxᵢ 为最宽一段。②近似：每段任取标志点 ξᵢ∈[xᵢ₋₁,xᵢ]，用小矩形 f(ξᵢ)Δxᵢ 近似该条面积。③求和：Sₙ=Σ_i=1ⁿ f(ξᵢ)Δxᵢ，这是黎曼和。④取极限：λ→0 时，黎曼和趋于和分割、取点都无关的同一极限 I，就说 f 在 [a,b] 可积，I=∫_a^b f(x)dx。

关键点是极限用 λ→0（每段都变窄）而非 n→∞（段数多但可能某段很宽）；且极限必须与「怎么分、ξᵢ 怎么取」无关，才叫可积。等分时 Δx=(b−a)/n、xᵢ=a+iΔx，右端点黎曼和写成 Σf(a+iΔx)Δx，是最常见的可计算形式。

1.2 达布上下和与可积条件

黎曼和的值随取点波动。为了严格化，记第 i 段上 f 的上确界 Mᵢ、下确界 mᵢ，定义上和 S̄=ΣMᵢΔxᵢ，这是所有黎曼和的上界；下和 S̲=ΣmᵢΔxᵢ，这是下界。分割越细，上和不增、下和不减。当「最细分割下上和与下和之差趋于 0」，也就是 Σ(Mᵢ−mᵢ)Δxᵢ→0 时，f 可积，这就是达布可积判据。

直接说两个可积的实用条件：①闭区间上连续函数必可积；②闭区间上有界、且只有有限个（甚至可数个）间断点的函数也可积。举反例：狄利克雷函数（有理点取1、无理点取0）在任何小区间上M=1、m=0，上和−下和恒为b−a≠0，故不可积。无界或振荡太碎会破坏可积性。

1.3 定积分的七条性质

就这么简单。黎曼和的极限直接对应这些性质，这是计算和估计的基础。

①线性：∫(αf+βg)=α∫f+β∫g。②区间可加：∫_a^b f=∫_a^c f+∫_c^b f（c 可在区间外，配合变号约定仍成立）。③常值：∫_a^b k dx=k(b−a)。④保号：f≥g ⟹ ∫f≥∫g；特别 |∫f|≤∫|f|。⑤估值：若 m≤f≤M，则 m(b−a)≤∫f≤M(b−a)。⑥奇函数在对称区间 ∫_−a^a f=0、偶函数 =2∫₀^a f（l3 细讲）。⑦积分中值定理：f 连续则 ∃ξ∈[a,b] 使 ∫_a^b f=f(ξ)(b−a)，f(ξ) 即区间平均值。

本节小结

定积分 ∫_a^b f 是黎曼和 Σf(ξᵢ)Δxᵢ 在分割无限加细（λ→0）时、与分割取点无关的极限，表示有向净面积与连续累积量。达布上下和给出可积判据，连续必可积、有界有限间断可积。七条性质（线性、可加、保号、估值、对称、中值）是计算与估计的利器。但用定义算极限太笨，下一节的微积分基本定理将把积分与求导打通，让计算彻底简化。