泰勒级数：把函数展开成无穷多项式

把m3的泰勒多项式推到无穷项，讨论收敛到函数自身的条件，汇总常用麦克劳林级数，用它们求级数和/极限，最后引出欧拉公式

理解泰勒级数和「收敛但不等于函数」的区别，搞懂常见函数的收敛范围
熟记 eˣ、sin、cos、ln(1+x)、(1+x)^α、几何级数的展开并会互推
会用代入、逐项求导积分、恒等变形求幂级数展开与和函数
e^{ix}=cosx+i sinx 这个欧拉公式，得搞懂它的来源和统一意义。

泰勒公式取到无穷项，函数就等于一个幂级数

m3 用有限阶泰勒多项式逼近函数、余项随阶数衰减。若函数无穷次可导，阶数 n→∞，就得到泰勒级数 Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x−a)ⁿ；余项在某范围趋于0时，函数在该范围恰好等于它的泰勒级数，这种情况叫解析。复杂函数拆成一串幂函数后，求导、积分、近似计算都变得机械。

3.1 麦克劳林级数五件套（a=0）

示例

# 常用麦克劳林级数与收敛范围
# 1/(1-x) = Σ x^n            |x|<1
# e^x     = Σ x^n/n!         全体实数 R=∞
# sin x   = Σ (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!   R=∞（奇次）
# cos x   = Σ (-1)^n x^(2n)/(2n)!       R=∞（偶次）
# ln(1+x) = Σ (-1)^(n-1) x^n/n          -1<x<=1
# (1+x)^a = 1+Σ C(a,n) x^n  |x|<1（广义二项）

这些展开彼此连通，不用孤立死记：几何级数 1/(1−x)=Σxⁿ 逐项积分得 −ln(1−x)=Σxⁿ⁺¹/(n+1)，也就是 ln(1+x) 换号；eˣ 的展开把 x 换成 ix，实部虚部分离正好得到 cosx+i sinx（见 3.3）；sin 是 eˣ 展开的奇次部分，cos 是偶次部分。

填空题填写空白处的代码

# 用展开求级数和 / 函数展开 # Σ_{n=0}∞ 1/n! = e^（在 e^x 展开中令 x=?） # Σ_{n=1}∞ (-1)^(n-1)/n = ln（在 ln(1+x) 令 x=1）

3.2 三种常用展开手法

代入/变量替换：由 eˣ=Σxⁿ/n! 直接得 e^−x²=Σ(−1)ⁿx²ⁿ/n!（高斯函数，概率统计常用），比逐阶求导快得多。逐项求导/积分：由 1/(1+x²)=Σ(−1)ⁿx²ⁿ（几何级数代入 −x²），逐项积分得 arctanx=Σ(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)，令 x=1 得到著名的莱布尼茨 π 公式 π/4=1−1/3+1/5−…。恒等变形：部分分式、配方、拆成已知函数之和。

近似计算与误差：收敛范围内取前若干项就行，交错级数误差不超首弃项；一般用拉格朗日余项估界。例算 e≈Σ_n=0¹⁰1/n! 已精确到 1e−7，这正是计算机计算超越函数的方式。

示例代码（可运行）

Python 0%

3.3 欧拉公式：一个等式统一指数与三角

把 eˣ 的幂级数中 x 换成虚数 ix（i²=−1），分开实部虚部：e^ix=Σ(ix)ⁿ/n! = [Σ(−1)ⁿx²ⁿ/(2n)!] + i[Σ(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!] = cosx+i sinx。这就是欧拉公式。令 x=π 得 e^iπ+1=0（欧拉恒等式，把 e、i、π、1、0 五个基本常数连起来）。

复数的指数表示 re^iθ=r(cosθ+i sinθ) 不是形式游戏：它让旋转、相位、傅里叶分析、量子力学与信号处理的计算大幅简化，乘法变成模相乘、角相加。反过来也能说明，sin/cos 的泰勒级数分别是 eˣ 的奇、偶次部分，它们本就是同一个复指数的两面。

ℹ️「光滑」不等于「等于泰勒级数」

无穷次可导只保证能写出泰勒级数，不保证级数收敛回原函数。存在C∞但非解析函数，比如x=0处e^−1/x²的延拓，它各阶导数在0处全为0，泰勒级数恒为0，却不等于原函数。初等函数在展开的收敛半径内，级数和函数是相等的；超出半径的话，比如ln(1+x)在x>1时，级数发散，就不能代表原函数了。

选择题

由 arctan x 的幂级数令 x=1 得到 π/4=1−1/3+1/5−…，这里用到的核心手法是？

预测输出

用 eˣ 展开求极限 lim x→0 (eˣ−1−x−x²/2)/x³。

本节小结

泰勒级数是泰勒多项式的无穷版本，余项趋于0时函数等于其级数（解析）。五套常用展开可由几何级数、eˣ经代入、逐项求导积分、恒等变形互推，用于求级数和、极限与高精度近似。e^ix=cosx+i sinx统一指数与三角，是复数相位与傅里叶分析的基石。下一节进入微分方程入门，为连续变化建模收尾。

资深工程师加餐

底层原理 · 大厂视角 · 工程经验，点卡片展开

定积分是黎曼和（切成无穷多个细矩形再求和）的极限：几何上是曲线下面积，物理上是由速度累积位移、由功率累积功。微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）揭示微分与积分互为逆运算，把「求极限和」转化为「找原函数代入上下限」，让面积真正可计算。