「瞬时速度」曾是个悖论——直到用极限把它定义出来

你直觉上知道汽车某一瞬间有速度，可一旦较真就撞墙：速度等于位移除以时间，「某一瞬间」对应的时间长度是0、位移也是0，0/0没有意义。这是17世纪以前人们说不清「瞬时」的根源。牛顿和莱布尼茨的突破，是不再直接定义瞬间，而是先定义一段小区间上的平均变化率，再让区间长度趋于0取极限——上一章的极限工具恰好把这个极限严格化。导数不是「无穷小时间里的平均」，而是平均变化率这列数的极限。这一节亲手把这个极限算出来、看清它的四张面孔，并厘清它和连续之间谁强谁弱。

1.1 平均变化率：先在一段区间上说话

给定函数 f，从 x 到 x+h（h≠0）这一段，函数值改变了 f(x+h)−f(x)，自变量改变了 h，二者之比 [f(x+h)−f(x)]/h 叫 f 在区间 [x,x+h] 上的平均变化率。几何上它是曲线两点 (x,f(x))、(x+h,f(x+h)) 连线（割线）的斜率；物理上若 f 是位移关于时间的函数，它就是这段时间的平均速度。h 越小，这段平均越能代表 x 附近的「即时」情况。

手算一个具体例子：自由落体位移 s(t)=t²（取简化单位），在 t=2 到 t=2+h 的平均速度是 [(2+h)²−2²]/h=(4h+h²)/h=4+h。当 h=0.1 平均速度 4.1，h=0.01 为 4.01，h=0.001 为 4.001，它们朝着 4 收敛，但只要 h≠0 就不是精确的 4；唯有取极限 h→0 才得到 t=2 的瞬时速度 4。注意：我们先约掉了 h（因为 h≠0，约分合法），再令 h→0，这与上一章约去公共因子求 0/0 极限是同一手法。

1.2 导数定义：让平均变化率取极限

lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 这个极限是有限实数的话，就叫 f 在 x 可导。这个极限就是 f 在 x 的导数，记作 f′(x)，也可以写成 df/dx、dy/dx，这是莱布尼茨记号。x 跑遍所有可导点，f′(x) 本身是个函数，叫导函数，简称导数。等价写法还有 lim Δx→0 Δy/Δx，或者令 t=x+h 写成 lim t→x [f(t)−f(x)]/(t−x)，三个写法完全等价，做题时哪个方便用哪个。

1.3 用定义求导：四个必须会手算的原型

下面四个例子覆盖了展开约分、通分、有理化、三角恒等式四种典型化简，全部直接从定义出发，不用任何求导公式。

①二次函数 f(x)=x²：[ (x+h)²−x² ]/h=(2xh+h²)/h=2x+h，令 h→0 得 f′(x)=2x。于是 f′(2)=4，与自由落体例子吻合。

②倒数 f(x)=1/x（x≠0）：[1/(x+h)−1/x]/h = [ (x−(x+h))/(x(x+h)) ]/h = [ −h/(x(x+h)) ]/h = −1/[x(x+h)]，令 h→0 得 f′(x)=−1/x²。关键是通分后分子出现 −h，正好与分母 h 约掉。

③平方根 f(x)=√x（x>0），直接代入是 0/0，用分子有理化：[√(x+h)−√x]/h，给分子分母同乘共轭式 √(x+h)+√x，分子变为 (x+h−x)=h，于是差商=1/[√(x+h)+√x]→1/(2√x)。这和上一章处理 ∞−∞ 型有理化用的是同一个技巧。

④正弦 f(x)=sinx，用和差化积：sin(x+h)−sinx=2cos(x+h/2)sin(h/2)，差商=cos(x+h/2)·[sin(h/2)/(h/2)]，当 h→0 时 cos(x+h/2)→cosx、方括号内是第一个重要极限趋于 1，故 (sinx)′=cosx。你看，重要极限 sinu/u→1 正是三角函数求导的基石。

求导是线性运算，从定义就能看出来。如果f、g都可导，那(f+g)′=f′+g′，(cf)′=cf′。和的差商是[f(x+h)+g(x+h)−f(x)−g(x)]/h，刚好是两个差商加起来，取极限后就对应相加；常数倍同理，能把常数提出来。这两条是下一节整套求导法则的起点。注意：乘积和商不满足这种简单分配，(fg)′≠f′g′。因为两个增量同时变化会产生交叉项，它们得用专门的乘积法则和商法则，下一节会严格推导。

1.4 导数的四张面孔：同一个极限，四种解读

导数定义只有一个，不同场景有不同解读，能在四张面孔间自由切换，才算真理解。

函数在一点不可导就四类情况，给你列全了，后面挨个验证：①不连续（连续是可导的必要条件，间断点直接出局）；②连续但有尖点或折角（左右导不等，如 |x|）；③连续光滑但切线竖直（差商趋于无穷，如 x^1/3 在 0）；④无限振荡（差商在该点附近不收敛）。 拿一个点，按「先看是否连续、再比左右导、最后看差商是否趋于有限值」的顺序排查，别凭图像看着光不光滑想当然，就能准确归类。

1.5 单侧导数：分段点上的可导性判定

左导数 f′₋(a)=lim h→0⁻ [f(a+h)−f(a)]/h、右导数 f′₊(a)=lim h→0⁺ [f(a+h)−f(a)]/h，这俩是和单侧极限对应的定义。f 在 a 可导，得左、右导数都存在，还得相等才行。几何上，左导是从左边逼近时割线斜率的极限，右导是从右边逼近时的，俩不等的话，曲线在该点就有折角，没有唯一切线。

手算绝对值 f(x)=|x| 在 0 点：右导 lim h→0⁺ |h|/h=lim h/h=1；左导 lim h→0⁻ |h|/h=lim (−h)/h=−1。左导 −1、右导 +1 不相等，故 |x| 在 0 不可导，图像在原点是一个尖点，左侧斜率 −1、右侧 +1，没有唯一切线。这是「连续但不可导」最经典的例子，下一节还会反复用。

1.6 可导与连续：谁强谁弱，严格证明给你看

定理：若 f 在 a 可导，则 f 在 a 连续（可导⟹连续）。证明用恒等变形：f(a+h)−f(a) = [ (f(a+h)−f(a))/h ]·h。当 h→0，方括号趋于 f′(a)（有限数），后面的 h 趋于 0，有限数乘 0 仍趋于 0，故 f(a+h)→f(a)，连续得证。这个「差=差商×增量」的分解，反向传播里链式相乘的结构和它同源。

反过来不成立：连续不保证可导。三类典型反例：①尖点，|x| 在 0 连续但左右导不等；②竖直切线，f(x)=x^1/3 在 0 连续，但差商趋于无穷、导数不存在（切线竖直、斜率无穷）；③处处连续处处不可导的魏尔斯特拉斯函数，由无穷层锯齿叠加，连续到极致却没有一点可导。可导比连续更强、更稀有；判断可导绝不能只看图像连不连续。

导函数 f′ 还能再求导，得到二阶导数 f″（记号 d²y/dx²），它刻画「变化率的变化率」：位移的一阶导是速度、二阶导是加速度；几何上二阶导决定曲线的凹凸与弯曲方向，是极值判据与牛顿优化法的关键。继续下去有三阶乃至 n 阶导数，泰勒公式正是用这一串各阶导数在一点重建整个函数，先建立这个印象，后面专门展开。

能用定义求出解析导数时永远优先解析解，它零误差且可继续代数运算、符号推导。有限差分只在拿不到解析形式（黑箱仿真、离散实验数据、无公式模型）时才用，且必须在截断误差与舍入误差之间谨慎取平衡，不是 h 越小越好。

本节小结

导数是平均变化率在增量趋于0时的极限 f′(x)=lim h→0[f(x+h)−f(x)]/h，它是切线斜率、瞬时变化率、最佳线性近似系数、最陡变化方向。按定义求导靠展开、通分、有理化、和差化积把0/0约出h，得到 (x²)′=2x、(1/x)′=−1/x²、(√x)′=1/(2√x)、(sinx)′=cosx。可导当且仅当左、右导数存在且相等；可导必连续（差=差商×增量），连续不一定可导（尖点、竖直切线、处处锯齿）。有限差分用有限h逼近导数，前向误差O(h)、中心O(h²)，要和舍入误差权衡；自动微分精确套用定义与链式法则，是反向传播的数学内核。下一节把求导从「每次取极限」升级为一套可直接调用的求导法则。