导数的「符号」比数值更能描述形状

知道每点切线斜率还不够，得整体把握曲线往哪走、往哪弯。拉格朗日中值定理把导数符号和函数升降连起来，二阶导刻画弯曲方向。这一节建立两张判据表，之后看一个函数就能在纸上还原它的大致形状。

4.1 一阶导符号 ⇔ 单调性

若f在[a,b]连续、在(a,b)可导，这是前提。 任取x₁<x₂，f(x₂)−f(x₁)=f′(ξ)(x₂−x₁)，这是中值定理直接给的式子，符号全由f′(ξ)定。 所以：•处处f′(x)>0，f就严格递增；•处处f′(x)<0，f就严格递减；•处处f′(x)≥0，f就不减。 注意：个别孤立点f′=0不影响严格单调，比如x³在整个实数轴严格递增，虽然f′(0)=0。

操作：①求 f′；②解 f′=0 与 f′ 不存在的点，作分界点把定义域切成若干区间；③在每区间取测试点定 f′ 符号；④标 ↑/↓。分界点两侧若单调性改变，就是候选极值点（下一节细判）。

4.2 凹凸性：二阶导决定弯曲方向

凹向上（凸函数，记作「凸」/convex，杯形 ∪）的曲线，弦在弧线上方，切线在弧线下方；凹向下（凹函数，帽形 ∩）则相反。严格定义：对任意 x₁,x₂ 与 t∈[0,1]，f(tx₁+(1−t)x₂) ≤ t f(x₁)+(1−t)f(x₂) 为凸（下凸）。判定定理：f″>0 ⟹ 凸（凹向上，∪，切线在下）；f″<0 ⟹ 凹（凹向下，∩）。证明可用中值定理或下一章泰勒，这里先用判据。

4.3 拐点：弯曲方向发生改变之处

拐点是曲线凹凸性改变的点，前提是函数连续，此时二阶导数f''变号。求法：先找f''=0或f''不存在的候选点，再检查候选点两侧f''是否异号——只有异号才是拐点，同号不算。注意：f''(x₀)=0只是必要条件，不是充分条件，反例f=x⁴，f''(0)=0，但两侧f''=12x²都≥0，曲线始终是杯形，0不是拐点。这和「f'=0未必是极值」逻辑完全一样。

4.4 一阶、二阶导合看：性态表

把分界点（f′=0/不存在、f″=0/不存在）从小到大排一行，逐列填f′符号（升降）、f″符号（凹凸），据此标每段是「增且杯形 ↑∪、增且帽形 ↑∩、减且杯形 ↓∪、减且帽形 ↓∩」，分界点标极值或拐点。这张表是下一节规范作图的骨架，也是优化问题判极值的依据。

本节小结

f′符号定升降，中值定理保证；f″符号定凹凸，>0是杯形∪，<0是帽形∩。拐点要求f″在连续点两侧变号，f″=0只是必要条件，x⁴就是反例。用f′、f″的零点和不可导点划分区间，列性态表，就能还原曲线形状。下一节讲极值的一、二阶充分判据，还有含渐近线的规范作图。