连接「局部导数」与「整体函数」的桥梁

罗尔要求两端等高，太特殊。现实曲线两端一般不等高。一段连续光滑的曲线，中间必有一点的切线，平行于连接两端点的弦。把这句话严格化，就是拉格朗日中值定理。它让「一点的导数」能够控制「整段的函数差」。

2.1 拉格朗日中值定理

Lagrange MVT定理：若f在[a,b]连续、在(a,b)可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)，即f′(ξ)=[f(b)−f(a)]/(b−a)。右端是连接两端点弦的斜率，左端是ξ处切线斜率，二者相等就是切线平行于弦。罗尔定理是它在f(a)=f(b)（弦水平）时的特例。

弦的方程是 L(x)=f(a)+[f(b)−f(a)]/(b−a)·(x−a)。令辅助函数 φ(x)=f(x)−L(x)，就是曲线减弦。φ 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导，φ(a)=φ(b)=0，因为两端点曲线和弦重合。对 φ 用罗尔定理，得 ∃ξ 使 φ′(ξ)=0，也就是 f′(ξ)−[f(b)−f(a)]/(b−a)=0，整理就是要的结果。这种「减掉线性部分造一个端点等值函数」的构造法，在证明题里反复出现。

2.2 有限增量公式与两个决定性推论

把 b 写成 x+Δx、a 写成 x，定理变为 f(x+Δx)−f(x)=f′(ξ)Δx（ξ 介于 x 与 x+Δx 之间），叫有限增量公式。和微分近似 f(x+Δx)−f(x)≈f′(x)Δx 不一样，中值定理是精确等式，只是 ξ 的精确位置未知——这就够推出很多严格结论。

2.3 柯西中值定理：两个函数的版本

定理（Cauchy MVT）：若 f、g 都在 [a,b] 连续、(a,b) 可导，且 g′(x) 在 (a,b) 内处处不为 0，则至少存在 ξ∈(a,b)，使 [f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)]=f′(ξ)/g′(ξ)。令 g(x)=x 时 g′=1、g(b)−g(a)=b−a，立刻退化为拉格朗日，所以柯西是参数化视角的推广：把 (g(t),f(t)) 看成参数曲线，弦与切线平行的关系依旧。

φ(t)=f(t)−f(a)−[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)]·(g(t)−g(a))，这是要证的辅助函数。算一下φ(a)和φ(b)，都是0，直接用罗尔定理，就能得到φ′(ξ)=0，也就是要的结论。注意：g′≠0这个条件，一是能保证g(b)≠g(a)，二是这个分式的分母不会为0，式子合法。柯西定理是下一节洛必达法则、泰勒公式证明的直接工具。

本节小结

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a) 这个拉格朗日中值定理，用「曲线减弦」做辅助函数就能转成罗尔定理来证，是把局部导数和整体差值连起来的精确等式，也叫有限增量公式。它能推出两个结论：f′≡0⟹常数、f′≡g′⟹f−g 为常数，这俩是不定积分的理论根基，还能用来严格证明不等式。柯西中值定理是拉格朗日的推广，要求两个函数在同一点 ξ 取比值，是洛必达和泰勒的直接基础。下一节用柯西定理推导洛必达法则。