定积分有自己的「省力杠杆」

不定积分的换元、分部在定积分里照样用，但定积分是一个数，带来额外便利：换元时上下限跟着变，积完直接代新变量的限，不必回代原变量。对称性与区间变换是定积分专属技巧，很多题连原函数都不用求。这一节讲这些定积分的技巧。

3.1 定积分换元：换元必换限，原变量不回代

x=φ(t) 单调、连续可导，t 从 α 到 β 对应 x 从 a 到 b，那么 ∫_a^b f(x)dx=∫_α^β f(φ(t))φ′(t)dt。注意：换元要同步做三件事：dx 换成 φ′(t)dt、被积函数代入 φ(t)、上下限换成对应的 t 值。换完限直接出数，别再把 t 换回 x。

例 ∫₀¹ √(1−x²) dx：令 x=sin t、dx=cos t dt，x=0→t=0、x=1→t=π/2，原式=∫₀^π/2cos²t dt（用降幂 cos²=(1+cos2t)/2）=π/4，正好是四分之一单位圆面积。

3.2 定积分分部：边积边代限

∫_a^b u dv=[uv]_a^b−∫_a^b v du，边界项直接代上下限。例 ∫₀^π x cosx dx：u=x、dv=cosx dx，=[x sinx]₀^π−∫₀^π sinx dx=0−[−cosx]₀^π=−(−cosπ+cos0)=−(1+1)=−2。选 u 的 LIATE 原则与不定积分一致。

3.3 对称：奇偶与区间再现

奇偶：∫_−a^a 奇函数=0、偶函数=2∫₀^a。遇到对称区间先看被积函数能否拆成「奇+偶」，奇项直接消失。例 ∫₋₁¹ x√(1−x⁴)+x² dx，第一项奇→0，只剩 2∫₀¹ x²dx=2/3。

②区间再现（反射代换）：对 [a,b] 令 x=a+b−t，可得 I=∫_a^b f(x)dx=∫_a^b f(a+b−x)dx，于是 2I=∫_a^b[f(x)+f(a+b−x)]dx。对称区间 [0,a] 上 I=∫₀^a f(x)=∫₀^a f(a−x)，经典用于 ∫₀^π/2 f(sinx,cosx)：因 sin(π/2−x)=cosx，sin 与 cos 在该区间积分地位对等，∫sinⁿ=∫cosⁿ。

3.4 周期函数与华莱士公式

③周期：若 f 以 T 为周期，则 ∫_a^a+T f 与起点 a 无关，任意一个周期长度的积分都相等，且 ∫_a^a+nT f = n∫₀^T f。三角函数在长度 2π（或 π）上积分可平移到最好算的位置。

④华莱士（点火）公式：Iₙ=∫₀^π/2 sinⁿx dx=∫₀^π/2 cosⁿx dx，递推 Iₙ=(n−1)/n·Iₙ₋₂，I₀=π/2、I₁=1。即「偶数点火到 π/2、奇数点火到 1」：I₄=(3/4)(1/2)(π/2)=3π/16，I₅=(4/5)(2/3)(1)=8/15。它在面积、体积、伽马函数、概率高斯积分中反复出现。

本节小结

定积分换元要三同步：代函数、代 dx、换上下限，而且不能回代。分部积分要边积边代限。对称是最省力的：奇函数在对称区间积分得0，偶函数积分是两倍半区间的积分。遇到区间再现，就是 I=∫f(a+b−x) 这种，把它和原式加起来算。周期函数的积分，可以平移一个整周期再算。华莱士递推公式是 Iₙ=(n−1)/n Iₙ₋₂。下一节讲反常积分，就是积分区间推广到无穷、被积函数推广到无界的情况。