求「最」的问题，先从极值点的必要条件说起

导数最有价值的应用之一是找最大、最小值：利润最大、成本最低、误差最小。要系统解决，先想清楚：函数图像的「峰」和「谷」处，切线长什么样？这就把直觉变成严格定理：费马引理与罗尔定理，它们是整座中值定理大厦的第一块砖。

1.1 局部极值与全局最值

若存在 x₀ 的一个小邻域，使邻域内所有 x 都满足 f(x)≤f(x₀)，称 x₀ 是局部极大值点（峰）；≥ 则为局部极小值点（谷），统称局部极值。全局（绝对）最值是在整个区间上的最大/最小。局部极值只跟「附近」比，一个函数可以有许多局部极值；全局最值至多一个最大值、一个最小值（可能在多个点取到）。端点处只与单侧比较，叫端点最值，处理方式与内点不同。

1.2 费马引理：内点可导极值处，切线必水平

费马引理：若 x₀ 是 f 的局部极值点，x₀ 是区间内点，且 f′(x₀) 存在，则 f′(x₀)=0。证明用左右导数：假设 x₀ 是局部极大，邻域内 f(x)≤f(x₀)。h>0 从右侧逼近，差商 [f(x₀+h)−f(x₀)]/h≤0，取右极限得 f′₊(x₀)≤0；h<0 从左侧逼近，分子≤0、分母<0，差商≥0，取左极限得 f′₋(x₀)≥0。可导则左右导相等，都等于 f′(x₀)，一个数既 ≤0 又 ≥0，只能是 0。极小情形同理，不等号反向，结论一样。

光滑曲线的峰顶、谷底处，切线是水平的，斜率为0。上抛物体到最高点时，速度为0。满足f′(x)=0的点，叫驻点。

1.3 罗尔定理：把「水平切线」做成存在性定理

罗尔定理：若函数 f 同时满足①在闭区间 [a,b] 上连续；②在开区间 (a,b) 内可导；③端点值相等 f(a)=f(b)，则至少存在一点 ξ∈(a,b) 使 f′(ξ)=0。

f在闭区间连续，所以在[a,b]上有最大值M和最小值m。 分两种情况：1.要是M=m，f在区间上是常数，导数处处是0，随便取个ξ就行2.要是M>m，因为f(a)=f(b)，最大值和最小值不可能都在端点（不然M=m=f(a)），至少有一个（比如最大值M）在内点ξ取到。ξ是内点，可导，还是局部极大点，按费马引理，f′(ξ)=0。 证毕。

几何意义：一条两端等高、中间不断裂且处处有切线的曲线，中间至少有一条水平切线。它不告诉你 ξ 具体在哪、有几个，只保证「存在」，这正是中值定理的典型风格。

1.4 三个条件为什么缺一不可

罗尔的每个条件都是防反例的：①去掉闭区间连续，哪怕只在一个端点不连续，最值可能取不到，水平切线可消失；②去掉开区间可导，内部出现尖点，如 f=|x| 在 [−1,1]，端点等高、连续，但内部0点不可导、其余点导数为±1，没有任何 f′=0 的点；③去掉端点等值，整体倾斜的直线 f=x 在 [0,1] 导数恒为1，没有水平切线。记定理时连同条件一起记，用之前先逐条核对。

本节小结

光滑函数在内点取极值，必有 f′=0，这就是费马引理。但驻点未必是极值，比如 x³；极值也可能在不可导点，比如 |x|。罗尔定理要求闭连续、开可导、端点等值三个条件，能保证区间内部有水平切线点，证明靠闭区间取最值加费马引理。下一节放宽端点等值的条件，得到应用极广的拉格朗日中值定理。