无穷多个数相加，什么时候有意义

把无穷多项 a₁+a₂+… 逐项相加，结果可能是有限数，也可能趋于无穷或振荡。级数理论用「先加前 n 项、再让 n→∞」的极限来回答这个问题，它是泰勒级数、概率期望、信号与频谱分析、数值算法误差分析的共同基础。

1.1 部分和与收敛定义

级数 Σ_n=1^∞ aₙ 的前 n 项部分和 Sₙ=a₁+…+aₙ=Σ_k=1ⁿ aₖ 构成数列 {Sₙ}。若 Sₙ 收敛到有限 S，称级数收敛、S 为级数的和，记作 Σaₙ=S；否则发散。收敛时余项 rₙ=S−Sₙ=Σ_k=n+1^∞aₖ→0。

若级数收敛，通项 aₙ→0 是必要条件。证明：aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁→S−S=0。但它不充分：aₙ→0 级数未必收敛，最著名反例是调和级数。所以 aₙ 不趋于 0 可直接判发散，趋于 0 却还要进一步判别。

1.2 三个必须背熟的标尺级数

①等比（几何）级数 Σ_n=0^∞ qⁿ：|q|<1 时收敛到 1/(1−q)，|q|≥1 发散。推导：Sₙ=(1−qⁿ)/(1−q)，|q|<1 时 qⁿ→0。例 1/2+1/4+…=1，0.3+0.03+…=1/3（解释循环小数）。

②p 级数 Σ1/nᵖ：p>1 收敛、p≤1 发散（与反常积分 ∫₁∞1/xᵖ 同敛散，背后是积分判别法）。③调和级数 Σ1/n 是 p=1 情形，发散到 ∞（尽管 1/n→0），增长慢，约 ln n+γ（欧拉常数 γ≈0.5772）。这三个是比较判别法的参照物。

1.3 正项级数与比较判别法

若 aₙ≥0，部分和 Sₙ 单调递增，所以级数收敛 ⟺ {Sₙ} 有上界，这是单调有界准则，也是所有正项级数判别法的根基。 比较判别法：0≤aₙ≤bₙ，Σbₙ 收敛则 Σaₙ 收敛；aₙ≥bₙ≥0，Σbₙ 发散则 Σaₙ 发散。 极限比较形式更实用：若 lim aₙ/bₙ=L∈(0,∞)，则两者同敛散——把 aₙ 用主导项等价到标尺级数就行。

例：Σ1/(n²+3n)，n 大时 ~1/n²（p=2 收敛），lim [1/(n²+3n)]/(1/n²)=1，故收敛。例：Σ(√(n+1)−√n)，有理化 =1/(√(n+1)+√n)~1/(2√n)（p=1/2 发散），故发散。找对「同阶标尺」是关键。

1.4 比值法与根值法（自带标尺，无需另找参照）

对正项级数aₙ，用比值法（达朗贝尔）：算ρ=lim aₙ₊₁/aₙ。ρ<1收敛，ρ>1（含∞）发散，ρ=1失效，得换方法。比如Σ1/n和Σ1/n²，比值极限都是1，一个发散一个收敛。这个方法适合带阶乘n!、指数cⁿ的项。

根值法（柯西）：ρ=lim ⁿ√aₙ，同样 ρ<1 收敛、>1 发散、=1 失效，适合含「整体 n 次方」的项。例 Σ( n/(2n+1))ⁿ，ⁿ√aₙ=n/(2n+1)→1/2<1，收敛。

本节小结

级数收敛由部分和极限定义，收敛必 aₙ→0 但反之不然，调和级数是反例。三把标尺：等比级数 |q|<1 收敛到 1/(1−q)、p 级数 p>1 收敛、调和级数 p=1 发散。正项级数用比较法或极限比较法对照标尺，含阶乘、指数的用比值法，含整体 n 次方的用根值法，ρ<1 收敛、>1 发散、=1 换方法。下一节处理有正有负的级数与作为函数的幂级数。