微积分的「拱顶石」：两百年的两类问题被一个定理统一

求切线（微分）和求面积（积分）看起来不搭边，牛顿、莱布尼茨各自独立发现它们互为逆运算，这就是微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）。它既解释了不定积分和定积分为啥共用积分符号，又把麻烦的黎曼和极限变成「找原函数、代端点」的简单计算，是整个微积分最核心的定理。

2.1 第一基本定理：变上限积分求导还原

f 在 [a,b] 连续，定义 Φ(x)=∫_a^x f(t)dt，这是变上限积分，积分结果随上限 x 变，是 x 的函数。Φ 在 [a,b] 上可导，且 Φ′(x)=f(x)。也就是说，Φ 是 f 的一个原函数——先积分到 x，再对 x 求导，刚好还原成被积函数。

Φ(x+h)−Φ(x)=∫_x^x+h f(t)dt=f(ξ)h，ξ在x和x+h之间。差商是f(ξ)，h→0时ξ→x，f连续，所以f(ξ)→f(x)，得出Φ′(x)=f(x)。这也证明了连续函数一定存在原函数，存在性由变限积分构造给出。

复合上下限求导：d/dx ∫_a(x)^b(x) f(t)dt = f(b(x))·b′(x) − f(a(x))·a′(x)（链式法则，下限项带负号）。例 d/dx∫₀^x² e^−t²dt=e^−x⁴·2x。

2.2 第二基本定理：牛顿-莱布尼茨公式

定理（N-L 公式）：若 f 在 [a,b] 连续，F 是 f 的任意一个原函数（F′=f），则 ∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a)，记作 [F(x)]_a^b。证明：Φ(x)=∫_a^x f 也是原函数，它与 F 只差常数 C；Φ(a)=0 定出 C=−F(a)，故 Φ(x)=F(x)−F(a)，令 x=b 即得。

例：∫₀¹ x²dx=[x³/3]₀¹=1/3−0=1/3，与上一节黎曼和数值逼近一致，但一步到位。例：∫₀^π sinx dx=[−cosx]₀^π=−cosπ+cos0=1+1=2。找原函数用 m4 全套技巧，代端点时下限也要代、且相减，最易漏下限。

2.3 两大部分为何能统一：局部斜率 ↔ 整体累积

第一定理说「积分的变化率=被积函数」，第二定理说「整体累积=原函数（变化率）在两端之差」。把 [a,b] 切成无数小段，每段 F 的增量 dF=F′(x)dx=f(x)dx，全部增量沿路径首尾相接累加，中间项两两抵消，只剩 F(b)−F(a)。这就是离散 ΣΔF=F末−F首 的连续版本。

本节小结

连续函数的变上限积分 Φ(x)=∫_a^x f 满足 Φ′=f，这就是第一基本定理，核心是连续函数必有原函数；复合限求导的规则是带上限导数、减下限导数。第二基本定理（N-L）是 ∫_a^b f=F(b)−F(a)，把定积分转化为原函数的端点差，注意：严禁跨越内部奇点。FTC 把局部变化率和整体累积统一起来。下一节解决定积分的换元、分部与对称技巧。