求导法则（上）：基本导数表与四则运算
不用每次都抠极限定义。先把基本初等函数导数表记熟，再把和差、常数倍、乘积、商的求导法则推一遍，之后就能机械、靠谱地算出绝大多数初等函数的导数
- 熟记基本初等函数导数表，每条都能由定义或已证结论推出来
- 掌握求导的线性：(u±v)′=u′±v′、(cu)′=cu′
- 就记死两个求导公式，别瞎改：乘积法则是(uv)′=u′v+uv′，商法则是(u/v)′=(u′v−uv′)/v²。
- 能对由四则运算组合的多项式、有理函数、三角式正确求导并化简
从「每次取极限」到「查表 + 套法则」
上一节求导全靠 lim 差商，严谨但慢。先把最常用的基本函数导数算出来，再搞懂函数四则组合后导数怎么变，就不用重复算，求导变成有定理背书的固定流程。这一节先给基本导数表，再严格证明四则运算法则。复合、反、隐函数留到下一节。
2.1 基本初等函数导数表（先会用，再问来路）
求导的原子就这几个，后面所有初等函数都是用它们做四则运算、复合拼出来的。C是常数，a>0且a≠1。
# 基本导数表（左：函数 右：导数）
# 常数 (C)' = 0
# 幂函数 (x^n)' = n*x^(n-1)
# 正弦余弦 (sin x)' = cos x , (cos x)' = -sin x
# 正切 (tan x)' = sec^2 x = 1/cos^2 x
# 指数 (e^x)' = e^x , (a^x)' = a^x * ln a
# 对数 (ln x)' = 1/x , (log_a x)' = 1/(x*ln a)
# 正割余割 (sec x)' = sec x*tan x , (csc x)' = -csc x*cot x
# 反正弦 (arcsin x)' = 1/sqrt(1-x^2)
# 反余弦 (arccos x)' = -1/sqrt(1-x^2)
# 反正切 (arctan x)' = 1/(1+x^2)求导的来路分三类，不用每次都重新证明，但要知道这不是规定：直接用定义，上一节已经推过 (x²)′、(1/x)′、(√x)′、(sinx)′；由定义推广，幂函数 (xⁿ)′=n xⁿ⁻¹ 对正整数 n，用二项式定理展开 (x+h)ⁿ 取极限就能得到，之后靠实数指数幂和对数工具，可推广到任意实数 n；互相推导，比如 (tanx)′=(sinx/cosx)′，用本节的商法则就能算出 sec²x，反三角函数要靠下一节的反函数求导来得到。
常数函数 f(x)=C 的差商 [C−C]/h=0，极限是0。几何上它是水平线，斜率处处为0。反过来，导数恒为0的函数在区间上必为常数，这是后面拉格朗日中值定理的直接推论。二者一起构成「常数 ⟺ 导数为 0」。
2.2 线性：和差与常数倍
u(x)、v(x) 都可导。求导时，加减法规则不变：(u+v)′=u′+v′、(u−v)′=u′−v′；常数倍规则不变：(cu)′=c·u′。之前讲过，这是因为和的差商等于差商之和、常数倍能提出极限。合起来就是线性公式 (a·u+b·v)′=a·u′+b·v′，这个公式能让多项式逐项求导。
例：f(x)=3x⁴−2x²+7，逐项：(3x⁴)′=3·4x³=12x³，(−2x²)′=−2·2x=−4x，(7)′=0，故 f′(x)=12x³−4x。注意负号、系数都要一起带上，常数项直接消失。
2.3 乘积法则：为什么不是 u′v′
别犯这个错：以为 (uv)′=u′v′。用 u=x、v=x 就能证伪：左边 (x·x)′=(x²)′=2x，右边 1·1=1，对不上。根源是两个函数同时变的时候，增量里有交叉项。严格推导：uv 在 x+h 的值减在 x 的值，做「加一项减一项」的经典拆分——
[u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)]/h = [u(x+h)−u(x)]/h·v(x+h) + u(x)·[v(x+h)−v(x)]/h。令 h→0：第一项差商→u′(x)、v(x+h)→v(x)（可导必连续），第二项 u(x) 不变、差商→v′(x)，于是得到乘积法则 (uv)′=u′v+uv′。口诀：轮流求导、相加。
例：f(x)=x²·sinx，把 u=x²、v=sinx 代入：u′=2x、v′=cosx，故 f′=2x·sinx+x²·cosx。三个函数相乘可迭代使用：(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′，即每一项恰好一个因子被求导，其余照抄。
2.4 商法则：分母的「负号」最容易丢
对 u/v（v≠0）求导，结果是 (u/v)′=(u′v−u v′)/v²，口诀「上导下不导，减去下导上不导，除以分母平方」。用乘积法则能快速推：u/v=u·(1/v)，先算 (1/v)′=−v′/v²，再算 (u·v⁻¹)′=u′v⁻¹+u·(−v′/v²)，化简后就是 (u′v−uv′)/v²。
例：tanx=sinx/cosx，取 u=sinx、v=cosx，u′=cosx、v′=−sinx，代入分子 cosx·cosx−sinx·(−sinx)=cos²x+sin²x=1，分母 cos²x，故 (tanx)′=1/cos²x=sec²x，正好补上导数表。再如 (1/x)′=(0·x−1·1)/x²=−1/x²，与上一节定义法一致，互相印证。
分子是 u′v 减 uv′，顺序反了符号全错。就记：先求导的在上，所以是 u′v−uv′。分母是 v 的平方，不是 v。v′ 本身带的负号要再算一次，比如 cosx 的导数是 −sinx，代入后减负数会变成加。
设 f(x)=x·ln x，则 f′(x) 等于？
本节小结
基本导数表给的原子公式：(C)′=0、(xⁿ)′=n xⁿ⁻¹、(sinx)′=cosx、(cosx)′=−sinx、(eˣ)′=eˣ、(lnx)′=1/x 这些。四则运算里，求导有三个规则：线性的 (au+bv)′=au′+bv′；乘积的 (uv)′=u′v+uv′，这个是用加一项减一项拆分差商严格推出来的；商的 (u/v)′=(u′v−uv′)/v²。别搞错，(uv)′ 不是 u′v′。下一节学复合函数链式法则和反函数、隐函数求导，这俩是初等函数求导的最后两块拼图。
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定积分是黎曼和（切成无穷多个细矩形再求和）的极限：几何上是曲线下面积，物理上是由速度累积位移、由功率累积功。微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）揭示微分与积分互为逆运算，把「求极限和」转化为「找原函数代入上下限」，让面积真正可计算。